Seja
uma matriz inversível. Prove as seguintes afirmações:
(a)
é inversível e
;
(b)
é inversível e
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar duas coisas sobre matrizes inversíveis. A matéria envolve matrizes inversíveis e transposição de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz inversível, como encontrar a inversa de uma matriz e como a transposição afeta a inversibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Parte (a): Provar que
é inversível e
Como
é inversível, sabemos que
existe. Agora, queremos mostrar que
também é inversível e que a inversa de
é justamente
.
Vamos considerar a definição de inversa:
Isso significa que
é a inversa de
. Portanto:
Então,
é inversível e sua inversa é
.
Passo 4
Parte (b): Provar que
é inversível e
Aqui,
representa a matriz transposta de
. Primeiro, precisamos lembrar que a transposição de uma matriz preserva a inversibilidade. Se
é inversível, então
também é inversível.
Agora, queremos encontrar a inversa de
. Sabemos que:
Para ver isso, vamos usar a propriedade da transposição de produtos de matrizes:
Aplicando isso a
, temos:
Isso mostra que
é a inversa de
.
Resposta
Assim, provamos que:
(a)
é inversível e
(b)
é inversível e