Seja A uma matriz inversível. Prove as seguintes afirmações:
(a) A^-1 é inversível e (A^-1)^-1=A;
(b) A^t é inversível e (A^t)^-1=(A^-1)^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar duas coisas sobre matrizes inversíveis. A matéria envolve matrizes inversíveis e transposição de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz inversível, como encontrar a inversa de uma matriz e como a transposição afeta a inversibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversível. Uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Parte (a): Provar que A^-1 cdot A = A cdot A^-1 = I é inversível e (A^-1)^-1 = A

Como é inversível, sabemos que existe. Agora, queremos mostrar que também é inversível e que a inversa de é justamente .
Vamos considerar a definição de inversa:
Isso significa que é a inversa de . Portanto:
Então, é inversível e sua inversa é .

Passo 4

Parte (b): Provar que (A^t)^-1 = (A^-1)^t é inversível e (A cdot B)^t = B^t cdot A^t

Aqui, (A cdot A^-1)^t = I^t Rightarrow (A^-1)^t cdot A^t = I representa a matriz transposta de . Primeiro, precisamos lembrar que a transposição de uma matriz preserva a inversibilidade. Se é inversível, então também é inversível.
Agora, queremos encontrar a inversa de . Sabemos que:
Para ver isso, vamos usar a propriedade da transposição de produtos de matrizes:
Aplicando isso a , temos:
Isso mostra que é a inversa de .

Resposta

Assim, provamos que:
(a) é inversível e
(b) é inversível e

Exercícios relacionados