Dadas as matrizes A=[ccx+y & 3 0 & 2 2 & 4], B=[cc1 & 2 x-y & 4] e C=[cc10 & 14 6 & 8 14 & 20], determine os valores de x e y para que A B=C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de matrizes juntos! A gente tem três matrizes , e , com algumas variáveis e . O objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que a multiplicação das matrizes e resulte na matriz . Para isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de matrizes e resolver as equações que surgirem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se a gente tem uma matriz A = x+y & 3 0 & 2 2 & 4 , B = 1 & 2 x-y & 4 , C = 10 & 14 6 & 8 14 & 20 de tamanho e uma matriz de tamanho , o resultado será uma matriz . Cada elemento dessa nova matriz é calculado multiplicando as linhas de pelas colunas de e somando os resultados.
No nosso caso:
A matriz é e é , então será uma matriz .

Passo 3

Vamos calcular A times B = (x+y) times 1 + 3 times (x - y) & (x+y) times 2 + 3 times 4 0 times 1 + 2 times (x - y) & 0 times 2 + 2 times 4 2 times 1 + 4 times (x - y) & 2 times 2 + 4 times 4 :
(x+y) times 1 + 3 times (x - y) = x + y + 3x - 3y = 4x - 2y
Vamos simplificar cada elemento:
  1. Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
(x+y) times 2 + 3 times 4 = 2x + 2y + 12
  1. Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
0 times 1 + 2 times (x - y) = 2x - 2y
  1. Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
0 times 2 + 2 times 4 = 8
  1. Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
2 times 1 + 4 times (x - y) = 2 + 4x - 4y
  1. Terceiro elemento (linha 3, coluna 1):
2 times 2 + 4 times 4 = 4 + 16 = 20
  1. Terceiro elemento (linha 3, coluna 2):
A times B = 4x - 2y & 2x + 2y + 12 2x - 2y & 8 4x - 4y + 2 & 20
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora, igualamos 4x - 2y & 2x + 2y + 12 2x - 2y & 8 4x - 4y + 2 & 20 = 10 & 14 6 & 8 14 & 20 à matriz :

[


]
Isso nos dá as seguintes equações:
  1.   (1ª linha, 1ª coluna)
  2.   (1ª linha, 2ª coluna)
  3.   (2ª linha, 1ª coluna)
  4.   (2ª linha, 2ª coluna) – Essa já está certa, então não precisamos usar.
  5.   (3ª linha, 1ª coluna)
  6.   (3ª linha, 2ª coluna) – Também já está certa.
Vamos resolver as equações 1, 2, 3 e 5.

Passo 5

Vamos simplificar e resolver as equações:
Equação 1:
4x - 2y = 10
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar:
2x - y = 5 (Equação A) çã
Equação 2:
2x + 2y + 12 = 14
Subtraindo 12 de ambos os lados:
2x + 2y = 2
Dividindo por 2:
x + y = 1 (Equação B) çã
Equação 3:
2x - 2y = 6
Dividindo por 2:
x - y = 3 (Equação C) çã
Equação 5:
4x - 4y + 2 = 14
Subtraindo 2 de ambos os lados:
4x - 4y = 12
Dividindo por 4:
x - y = 3 (Equação D) çã
Notamos que a Equação D é igual à Equação C, então não precisamos dela.
Agora temos:
Equação A: 2x - y = 5 çã
Equação B: x + y = 1 çã
Equação C: x - y = 3 çã

Passo 6

Vamos resolver o sistema de Equações A, B e C.
Primeiro, olhamos para Equação B e C:
x + y = 1 (B)
x - y = 3 (C)
Se somarmos as duas equações, temos:
(x + y) + (x - y) = 1 + 3 2x = 4 x = 2
Agora que sabemos que 2 + y = 1 y = 1 - 2 y = -1 , vamos substituir esse valor na Equação B para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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