Dadas as matrizes e , determine os valores de e para que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de matrizes juntos! A gente tem três matrizes , e , com algumas variáveis e . O objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que a multiplicação das matrizes e resulte na matriz . Para isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de matrizes e resolver as equações que surgirem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se a gente tem uma matriz de tamanho e uma matriz de tamanho , o resultado será uma matriz . Cada elemento dessa nova matriz é calculado multiplicando as linhas de pelas colunas de e somando os resultados.
No nosso caso:
A matriz é e é , então será uma matriz .
Passo 3
Vamos calcular :
Vamos simplificar cada elemento:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Terceiro elemento (linha 3, coluna 1):
Terceiro elemento (linha 3, coluna 2):
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, igualamos à matriz :
[
]
Isso nos dá as seguintes equações:
(1ª linha, 1ª coluna)
(1ª linha, 2ª coluna)
(2ª linha, 1ª coluna)
(2ª linha, 2ª coluna) – Essa já está certa, então não precisamos usar.
(3ª linha, 1ª coluna)
(3ª linha, 2ª coluna) – Também já está certa.
Vamos resolver as equações 1, 2, 3 e 5.
Passo 5
Vamos simplificar e resolver as equações:
Equação 1:
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar:
çã
Equação 2:
Subtraindo 12 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
çã
Equação 3:
Dividindo por 2:
çã
Equação 5:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 4:
çã
Notamos que a Equação D é igual à Equação C, então não precisamos dela.
Agora temos:
çã
çã
çã
Passo 6
Vamos resolver o sistema de Equações A, B e C.
Primeiro, olhamos para Equação B e C:
Se somarmos as duas equações, temos:
Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na Equação B para encontrar :