Dadas as matrizes, determine a inversa (se existir) aplicando operações elementares.
D=[cccc -2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar operações de linha para transformar a matriz em uma matriz identidade e, simultaneamente, aplicar essas mesmas operações a uma matriz identidade para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [cccc|cccc -2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ] aumentada com a matriz identidade do mesmo tamanho. Isso fica assim:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada (a parte de [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & -1 & -12 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ) na matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pela primeira coluna.
Primeiro, queremos que o elemento no primeiro pivô (primeira linha, primeira coluna) seja 1. Atualmente, temos . Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Ou seja, queremos que os elementos nas posições (2,1), (3,1) e (4,1) sejam 0.
  • Para a segunda linha: [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & -1 & -12 & 0 & 0 & 0 0 & -12 & -2 & 1 & 32 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & -12 & -1 & 1 & 32 & 0 & 0 & 1 ]
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna ( [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & -1 & -12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -2 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 0 & -12 & -1 & 1 & 32 & 0 & 0 & 1 ] ). Queremos que esse pivô seja 1, então vamos multiplicar a segunda linha por :

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô na segunda coluna.
  • Para a primeira linha: [cccc|cccc 1 & 0 & -2 & 0 & 0.5 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -2 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 ]
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:

Passo 7

Vamos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e terceira coluna ( [cccc|cccc 1 & 0 & -2 & 0 & 0.5 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -2 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -0.5 & -0.5 & -1 & -0.5 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 ] ). Queremos que esse pivô seja 1, então vamos multiplicar a terceira linha por :

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do terceiro pivô na terceira coluna.
  • Para a primeira linha: [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -1 & -0.5 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -0.5 & -0.5 & -1 & -0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0.5 & 1 ]
  • Para a segunda linha:
  • Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:

Passo 9

Finalmente, vamos para o quarto pivô, que está na quarta linha e quarta coluna ( [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -1 & -0.5 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -0.5 & -0.5 & -1 & -0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 ] ). Queremos que esse pivô seja 1, então vamos multiplicar a quarta linha por 2:

Passo 10

Agora, vamos zerar os elementos acima do quarto pivô na quarta coluna.
  • Para a primeira linha: [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & -1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 ]
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
Aplicando essas operações:

Resposta

A inversa da matriz D^-1 = [cccc 0.5 & -1 & 0 & 2 -2 & 2 & 1 & -2 0 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2 ] é:

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