Dados os sistemas lineares a seguir:
  • Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
  • Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
l 2 x-y+4 z=-4 -x+2 y+z=2 2 x+y-2 z=6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x, y, z). O conteúdo que vamos usar aqui é o escalonamento de matrizes para resolver sistemas lineares e a definição de posto para classificar o sistema quanto ao número de soluções. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações para chegar a uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & -1 & 4 & | & -4 -1 & 2 & 1 & | & 2 2 & 1 & -2 & | & 6

Passo 3

O próximo passo é escalonar essa matriz, ou seja, transformar ela em uma forma onde fique mais fácil de resolver as equações. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
1 & -12 & 2 & | & -2 -1 & 2 & 1 & | & 2 2 & 1 & -2 & | & 6

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x das outras duas linhas usando a primeira linha. Para a segunda linha, somamos a primeira linha multiplicada por 1:
Linha 2 + (1)*Linha 1:
-1 + 1 = 0 2 + (-12) = 32 1 + 2 = 3 2 + (-2) = 0
E para a terceira linha, subtraímos a primeira linha multiplicada por 2:
Linha 3 - (2)*Linha 1:
2 - 2 = 0 1 - (-1) = 2 -2 - 4 = -6 6 - (-4) = 10
Agora, a matriz fica:
1 & -12 & 2 & | & -2 0 & 32 & 3 & | & 0 0 & 2 & -6 & | & 10

Passo 5

Vamos agora trabalhar com a segunda linha para simplificar. Queremos que o primeiro elemento da segunda linha seja 1, então multiplicamos a segunda linha por 23:
1 & -12 & 2 & | & -2 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 2 & -6 & | & 10

Passo 6

Em seguida, eliminamos o y da terceira linha usando a segunda linha. Fazemos isso subtraindo 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 - 2*Linha 2:
0 - 0 = 0 2 - 2 = 0 -6 - 4 = -10 10 - 0 = 10
A matriz fica:
1 & -12 & 2 & | & -2 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & -10 & | & 10

Passo 7

Agora, vamos resolver a terceira equação para z:
-10z = 10 Rightarrow z = -1

Passo 8

Com z = -1, usamos a segunda equação para encontrar y:
y + 2(-1) = 0 y - 2 = 0 Rightarrow y = 2

Passo 9

Por fim, usamos a primeira equação para encontrar x:
x - 12(2) + 2(-1) = -2 x - 1 - 2 = -2 x - 3 = -2 Rightarrow x = 1

Resposta

A solução do sistema é x = 1, y = 2 e z = -1. O sistema possui uma única solução.

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