Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas (, , ). O conteúdo que vamos usar aqui é o escalonamento de matrizes para resolver sistemas lineares e a definição de posto para classificar o sistema quanto ao número de soluções. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações para chegar a uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
O próximo passo é escalonar essa matriz, ou seja, transformar ela em uma forma onde fique mais fácil de resolver as equações. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o das outras duas linhas usando a primeira linha. Para a segunda linha, somamos a primeira linha multiplicada por 1:
Linha 2 + (1)*Linha 1:
E para a terceira linha, subtraímos a primeira linha multiplicada por 2:
Linha 3 - (2)*Linha 1:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Vamos agora trabalhar com a segunda linha para simplificar. Queremos que o primeiro elemento da segunda linha seja 1, então multiplicamos a segunda linha por :
Passo 6
Em seguida, eliminamos o da terceira linha usando a segunda linha. Fazemos isso subtraindo 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 - 2*Linha 2:
A matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a terceira equação para :
Passo 8
Com , usamos a segunda equação para encontrar :
Passo 9
Por fim, usamos a primeira equação para encontrar :
Resposta
A solução do sistema é , e . O sistema possui uma única solução.