Dadas as matrizes A=(ll1 & 2 3 & 4) e B=(cc-1 & 0 1 & 1), encontre a matriz X em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão nos dá duas matrizes:
A = 1 & 2 3 & 4 e B = -1 & 0 1 & 1
E pede para encontrar a matriz em cada caso. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre como resolver equações envolvendo matrizes. Vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Vamos considerar o primeiro caso: AX = B . Queremos encontrar A^-1AX = A^-1B tal que, quando multiplicamos IX = A^-1B por X = A^-1B , obtemos .
Para resolver isso, precisamos isolar . Assim como em equações do 1º grau, onde fazemos de tudo para deixar a incógnita sozinha, aqui vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de .
Multiplicando ambos os lados pela (inversa de ):
Sabemos que (matriz identidade), então:
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . A fórmula para a inversa de uma matriz a & b c & d é:
a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
Onde det(A) = ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 .
Para a matriz A^-1 = 1-2 4 & -2 -3 & 1 = -2 & 1 1.5 & -0.5 :
Calculando o determinante:
Então,

Passo 4

Agora que temos X = A^-1B = -2 & 1 1.5 & -0.5 -1 & 0 1 & 1 , vamos multiplicá-la por (-2)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 = 3 para encontrar (-2)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1 :
(1.5)(-1) + (-0.5)(1) = -1.5 - 0.5 = -2
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
  • Primeiro elemento da primeira linha:
    (1.5)(0) + (-0.5)(1) = 0 - 0.5 = -0.5
  • Segundo elemento da primeira linha:
    X = 3 & 1 -2 & -0.5
  • Primeiro elemento da segunda linha:
  • Segundo elemento da segunda linha:
Então,

Passo 5

Agora, vamos para o segundo caso: XA = B . Queremos encontrar XAA^-1 = BA^-1 tal que, quando multiplicamos XI = BA^-1 por X = BA^-1 , obtemos .
Dessa vez, a incógnita está antes de , o que complica um pouco, mas a ideia é semelhante. Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de , mas desta vez do outro lado.
Multiplicando ambos os lados pela pela direita:
Sabemos que , então:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

Passo 6

Já temos A^-1 = -2 & 1 1.5 & -0.5 calculada:
X = BA^-1 = -1 & 0 1 & 1 -2 & 1 1.5 & -0.5
Agora, vamos multiplicar (-1)(-2) + (0)(1.5) = 2 + 0 = 2 por (-1)(1) + (0)(-0.5) = -1 + 0 = -1 :
(1)(-2) + (1)(1.5) = -2 + 1.5 = -0.5
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
  • Primeiro elemento da primeira linha:
    (1)(1) + (1)(-0.5) = 1 - 0.5 = 0.5
  • Segundo elemento da primeira linha:
    X = 2 & -1 -0.5 & 0.5
  • Primeiro elemento da segunda linha:
  • Segundo elemento da segunda linha:
Então,

Resposta

A matriz X = 3 & 1 -2 & -0.5 é:
  • No caso de X = 2 & -1 -0.5 & 0.5 :
  • No caso de :

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