Dadas as matrizes e , encontre a matriz em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão nos dá duas matrizes:
E pede para encontrar a matriz em cada caso. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre como resolver equações envolvendo matrizes. Vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Vamos considerar o primeiro caso: . Queremos encontrar tal que, quando multiplicamos por , obtemos .
Para resolver isso, precisamos isolar . Assim como em equações do 1º grau, onde fazemos de tudo para deixar a incógnita sozinha, aqui vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de .
Multiplicando ambos os lados pela (inversa de ):
Sabemos que (matriz identidade), então:
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a inversa de . A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde .
Para a matriz :
Calculando o determinante:
Então,

Passo 4

Agora que temos , vamos multiplicá-la por para encontrar :
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
  • Primeiro elemento da primeira linha:
  • Segundo elemento da primeira linha:
  • Primeiro elemento da segunda linha:
  • Segundo elemento da segunda linha:
Então,

Passo 5

Agora, vamos para o segundo caso: . Queremos encontrar tal que, quando multiplicamos por , obtemos .
Dessa vez, a incógnita está antes de , o que complica um pouco, mas a ideia é semelhante. Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de , mas desta vez do outro lado.
Multiplicando ambos os lados pela pela direita:
Sabemos que , então:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:

Passo 6

Já temos calculada:
Agora, vamos multiplicar por :
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
  • Primeiro elemento da primeira linha:
  • Segundo elemento da primeira linha:
  • Primeiro elemento da segunda linha:
  • Segundo elemento da segunda linha:
Então,

Resposta

A matriz é:
  • No caso de :
  • No caso de :

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(ii) Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta , e é perpendicular ao plano .
Sejam e . Determine, se possível: , tal que .
Obtenha a interseção da reta com o plano :
© ;
Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
(ii) ;