Dadas as matrizes
e
, encontre a matriz
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A questão nos dá duas matrizes:
E pede para encontrar a matriz
em cada caso. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, especificamente sobre como resolver equações envolvendo matrizes. Vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como multiplicar matrizes.
Passo 2
Vamos considerar o primeiro caso:
. Queremos encontrar
tal que, quando multiplicamos
por
, obtemos
.
Para resolver isso, precisamos isolar
. Assim como em equações do 1º grau, onde fazemos de tudo para deixar a incógnita sozinha, aqui vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
.
Multiplicando ambos os lados pela
(inversa de
):
Sabemos que
(matriz identidade), então:
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a inversa de
. A fórmula para a inversa de uma matriz
é:
Onde
.
Para a matriz
:
Calculando o determinante:
Então,
Passo 4
Agora que temos
, vamos multiplicá-la por
para encontrar
:
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
-
Primeiro elemento da primeira linha:
-
Segundo elemento da primeira linha:
-
Primeiro elemento da segunda linha:
-
Segundo elemento da segunda linha:
Então,
Passo 5
Agora, vamos para o segundo caso:
. Queremos encontrar
tal que, quando multiplicamos
por
, obtemos
.
Dessa vez, a incógnita
está antes de
, o que complica um pouco, mas a ideia é semelhante. Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
, mas desta vez do outro lado.
Multiplicando ambos os lados pela
pela direita:
Sabemos que
, então:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma:
Passo 6
Já temos
calculada:
Agora, vamos multiplicar
por
:
Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
-
Primeiro elemento da primeira linha:
-
Segundo elemento da primeira linha:
-
Primeiro elemento da segunda linha:
-
Segundo elemento da segunda linha:
Então,
Resposta
A matriz
é:
-
No caso de
: -
No caso de
: