Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
(ii)
;
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformação linear
, definida por
, é sobrejetiva. Estamos trabalhando com transformações lineares dentro da álgebra linear. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como aplicar isso à transformação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ser sobrejetiva. Uma transformação linear
é sobrejetiva se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja,
“cobre” todo o espaço de chegada
.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, para
ser sobrejetiva, precisamos mostrar que para qualquer número real
, existe um polinômio
em
tal que
.
Passo 4
Vamos construir um polinômio que satisfaça essa condição. Considere o polinômio constante
. Esse polinômio está em
porque é um polinômio de grau zero, que é menor ou igual a
.
Passo 5
Agora, aplicando a transformação
nesse polinômio, temos:
Isso mostra que para qualquer
, existe pelo menos um polinômio
em
tal que
.
Passo 6
Portanto, a transformação
atinge todo o conjunto
, ou seja, é sobrejetiva.
Resposta
A transformação linear
é sobrejetiva porque para todo
, existe um polinômio
em
tal que
.