Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a transformação linear , definida por , é sobrejetiva. Estamos trabalhando com transformações lineares dentro da álgebra linear. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como aplicar isso à transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ser sobrejetiva. Uma transformação linear é sobrejetiva se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, “cobre” todo o espaço de chegada .
Passo 3
No nosso caso, . Então, para ser sobrejetiva, precisamos mostrar que para qualquer número real , existe um polinômio em tal que .
Passo 4
Vamos construir um polinômio que satisfaça essa condição. Considere o polinômio constante . Esse polinômio está em porque é um polinômio de grau zero, que é menor ou igual a .
Passo 5
Agora, aplicando a transformação nesse polinômio, temos:
Isso mostra que para qualquer , existe pelo menos um polinômio em tal que .
Passo 6
Portanto, a transformação atinge todo o conjunto , ou seja, é sobrejetiva.
Resposta
A transformação linear é sobrejetiva porque para todo , existe um polinômio em tal que .