(ii) Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta , e é perpendicular ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta dada por , e também é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como vetores normais e paralelismo de planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o plano é paralelo à reta . Isso implica que o vetor diretor da reta , que é , está contido no plano . Ou seja, é paralelo ao plano.

Passo 3

Agora, o plano também é perpendicular ao plano . Para que dois planos sejam perpendiculares, os vetores normais de cada um devem ser perpendiculares. O vetor normal de é .

Passo 4

Então, o vetor normal do plano , que vamos chamar de , deve ser perpendicular ao vetor normal de , ou seja, . Além disso, como está no plano , .

Passo 5

Vamos chamar . Então, temos as seguintes equações:
  1. (porque )
  2. (porque )

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.

Passo 7

Multiplicando a segunda equação por 1 e subtraindo da primeira:


Simplificando:

Passo 8

Substituindo na segunda equação:

Passo 9

Então, temos e . Podemos escolher (para simplificar), então e . Portanto, o vetor normal do plano é .

Passo 10

Com o vetor normal e passando pelo ponto , a equação do plano é dada por:

Passo 11

Simplificando a equação:


Multiplicando ambos os lados por para deixar a equação mais padrão:

Resposta

A equação geral do plano é .

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