(ii) Ache uma equação geral do plano alpha que passa pelo ponto P(2,1,3), é paralelo à reta r:(x, y, z)=(1,2,3)+h(1,2,-1), h in R, e é perpendicular ao plano pi: x-y+2 z-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano alpha que passa pelo ponto P(2,1,3), é paralelo à reta r dada por (x, y, z) = (1,2,3) + h(1,2,-1), e também é perpendicular ao plano pi: x - y + 2z - 4 = 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como vetores normais e paralelismo de planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o plano alpha é paralelo à reta r. Isso implica que o vetor diretor da reta r, que é v = (1,2,-1), está contido no plano alpha. Ou seja, v é paralelo ao plano.

Passo 3

Agora, o plano alpha também é perpendicular ao plano pi: x - y + 2z - 4 = 0. Para que dois planos sejam perpendiculares, os vetores normais de cada um devem ser perpendiculares. O vetor normal de pi é npi = (1, -1, 2).

Passo 4

Então, o vetor normal do plano alpha, que vamos chamar de nalpha, deve ser perpendicular ao vetor normal de pi, ou seja, nalpha cdot npi = 0. Além disso, como v está no plano alpha, nalpha cdot v = 0.

Passo 5

Vamos chamar nalpha = (A, B, C). Então, temos as seguintes equações:
  1. A(1) + B(-1) + C(2) = 0 (porque nalpha cdot npi = 0)
  2. A(1) + B(2) + C(-1) = 0 (porque nalpha cdot v = 0)

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. A - B + 2C = 0
  2. A + 2B - C = 0
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.

Passo 7

Multiplicando a segunda equação por 1 e subtraindo da primeira:
(A - B + 2C) - (A + 2B - C) = 0 - 0
-3B + 3C = 0
Simplificando:
-B + C = 0 Rightarrow C = B

Passo 8

Substituindo C = B na segunda equação:
A + 2B - B = 0
A + B = 0 Rightarrow A = -B

Passo 9

Então, temos A = -B e C = B. Podemos escolher B = 1 (para simplificar), então A = -1 e C = 1. Portanto, o vetor normal do plano alpha é nalpha = (-1, 1, 1).

Passo 10

Com o vetor normal nalpha = (-1, 1, 1) e passando pelo ponto P(2,1,3), a equação do plano alpha é dada por:
-1(x - 2) + 1(y - 1) + 1(z - 3) = 0

Passo 11

Simplificando a equação:
-x + 2 + y - 1 + z - 3 = 0
-x + y + z - 2 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar a equação mais padrão:
x - y - z + 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano alpha é x - y - z + 2 = 0.

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