(ii) Ache uma equação geral do plano
que passa pelo ponto
, é paralelo à reta
, e é perpendicular ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano
que passa pelo ponto
, é paralelo à reta
dada por
, e também é perpendicular ao plano
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como vetores normais e paralelismo de planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o plano
é paralelo à reta
. Isso implica que o vetor diretor da reta
, que é
, está contido no plano
. Ou seja,
é paralelo ao plano.
Passo 3
Agora, o plano
também é perpendicular ao plano
. Para que dois planos sejam perpendiculares, os vetores normais de cada um devem ser perpendiculares. O vetor normal de
é
.
Passo 4
Então, o vetor normal do plano
, que vamos chamar de
, deve ser perpendicular ao vetor normal de
, ou seja,
. Além disso, como
está no plano
,
.
Passo 5
Vamos chamar
. Então, temos as seguintes equações:
-
(porque ) -
(porque )
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Passo 7
Multiplicando a segunda equação por 1 e subtraindo da primeira:
Simplificando:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo
na segunda equação:
Passo 9
Então, temos
e
. Podemos escolher
(para simplificar), então
e
. Portanto, o vetor normal do plano
é
.
Passo 10
Com o vetor normal
e passando pelo ponto
, a equação do plano
é dada por:
Passo 11
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por para deixar a equação mais padrão:
Multiplicando ambos os lados por
Resposta
A equação geral do plano
é
.