(ii) Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta , e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta dada por , e também é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como vetores normais e paralelismo de planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o plano é paralelo à reta . Isso implica que o vetor diretor da reta , que é , está contido no plano . Ou seja, é paralelo ao plano.
Passo 3
Agora, o plano também é perpendicular ao plano . Para que dois planos sejam perpendiculares, os vetores normais de cada um devem ser perpendiculares. O vetor normal de é .
Passo 4
Então, o vetor normal do plano , que vamos chamar de , deve ser perpendicular ao vetor normal de , ou seja, . Além disso, como está no plano , .
Passo 5
Vamos chamar . Então, temos as seguintes equações:
(porque )
(porque )
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Passo 7
Multiplicando a segunda equação por 1 e subtraindo da primeira:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo na segunda equação:
Passo 9
Então, temos e . Podemos escolher (para simplificar), então e . Portanto, o vetor normal do plano é .
Passo 10
Com o vetor normal e passando pelo ponto , a equação do plano é dada por:
Passo 11
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por para deixar a equação mais padrão: