Obtenha a interseção da reta r com o plano pi :
© r: x3=y-12=z-38 pi: 2 x+y-z-6=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a interseção da reta com o plano . O enunciado nos dá a equação da reta na forma paramétrica e a equação do plano. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção entre retas e planos, e manipular as equações para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da reta x3 = y-12 = z-38 de forma paramétrica. A reta está dada por:
x = 3t
Podemos chamar esse valor comum de y - 1 = 2t Rightarrow y = 2t + 1 . Então, temos:
z - 3 = 8t Rightarrow z = 8t + 3
x = 3t, y = 2t + 1, z = 8t + 3
Agora, temos a reta parametrizada:

Passo 3

A equação do plano 2x + y - z - 6 = 0 é:
Queremos encontrar o ponto onde a reta intersecta o plano . Para isso, substituímos as expressões paramétricas de na equação do plano e resolvemos para .

Passo 4

Substituindo 2(3t) + (2t + 1) - (8t + 3) - 6 = 0 , 6t + 2t + 1 - 8t - 3 - 6 = 0 e (6t + 2t - 8t) + (1 - 3 - 6) = 0 na equação do plano:
0t - 8 = 0
Simplificando:
-8 = 0
Isso não faz sentido, o que indica que não há solução para .

Passo 5

Como a equação resultou em uma afirmação falsa ( ), isso significa que a reta não intersecta o plano . Portanto, a reta e o plano são paralelos e não possuem pontos de interseção.

Resposta

A reta e o plano são paralelos e não possuem ponto de interseção.

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