Dadas as matrizes A=[ll9 & 5 7 & 4] e B=[ll4 & n m & 9], calcular m e n para que B seja a matriz inversa de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você enviou! Temos duas matrizes:
A = 9 & 5 7 & 4 e B = 4 & n m & 9
A ideia é encontrar os valores de e de forma que a matriz seja a inversa da matriz . Para isso, vamos precisar entender o que é matriz inversa e como calculá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz inversa. Uma matriz A cdot B = I é inversa de I = 1 & 0 0 & 1 se, quando multiplicamos por , o resultado é a matriz identidade :
A matriz identidade para matrizes 2x2 é:
Portanto, nosso objetivo é multiplicar por e fazer com que o resultado seja igual a .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação das matrizes A cdot B = 9 & 5 7 & 4 cdot 4 & n m & 9 e 9 cdot 4 + 5 cdot m = 36 + 5m :
9 cdot n + 5 cdot 9 = 9n + 45
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Vamos calcular cada elemento resultante:
  1. Elemento (1,1):
7 cdot 4 + 4 cdot m = 28 + 4m
  1. Elemento (1,2):
7 cdot n + 4 cdot 9 = 7n + 36
  1. Elemento (2,1):
A cdot B = 36 + 5m & 9n + 45 28 + 4m & 7n + 36
  1. Elemento (2,2):
Assim, a matriz resultante da multiplicação é:

Passo 4

Agora, queremos que 36 + 5m & 9n + 45 28 + 4m & 7n + 36 = 1 & 0 0 & 1 , ou seja:

$$
36 + 5m = 1

9n + 45 = 0
$$
Isso nos dá um sistema de equações igualando os elementos correspondentes:
  1. Equação (1,1):
28 + 4m = 0
  1. Equação (1,2):
7n + 36 = 1
  1. Equação (2,1):
  1. Equação (2,2):
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 5

Vamos resolver as equações uma a uma.
  1. Equação (1,1):
36 + 5m = 1 5m = 1 - 36 5m = -35 m = -355 m = -7
  1. Equação (2,1):
28 + 4m = 0 4m = -28 m = -284 m = -7
Vemos que ambas as equações confirmam que 9n + 45 = 0 9n = -45 n = -459 n = -5 .
  1. Equação (1,2):
7n + 36 = 1 7n = 1 - 36 7n = -35 n = -357 n = -5
  1. Equação (2,2):
Também aqui, as duas equações confirmam que .

Resposta

Portanto, os valores que tornam m = -7 e n = -5 a inversa de são:

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