Dadas as matrizes
e
, calcular
e
para que
seja a matriz inversa de A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você enviou! Temos duas matrizes:
A ideia é encontrar os valores de
e
de forma que a matriz
seja a inversa da matriz
. Para isso, vamos precisar entender o que é matriz inversa e como calculá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz inversa. Uma matriz
é inversa de
se, quando multiplicamos
por
, o resultado é a matriz identidade
:
A matriz identidade
para matrizes 2x2 é:
Portanto, nosso objetivo é multiplicar
por
e fazer com que o resultado seja igual a
.
Passo 3
Vamos fazer a multiplicação das matrizes
e
:
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. Vamos calcular cada elemento resultante:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Assim, a matriz resultante da multiplicação
é:
Passo 4
Agora, queremos que
, ou seja:
$$
$$
Isso nos dá um sistema de equações igualando os elementos correspondentes:
- Equação (1,1):
- Equação (1,2):
- Equação (2,1):
- Equação (2,2):
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos resolver as equações uma a uma.
- Equação (1,1):
- Equação (2,1):
Vemos que ambas as equações confirmam que
.
- Equação (1,2):
- Equação (2,2):
Também aqui, as duas equações confirmam que
.
Resposta
Portanto, os valores que tornam
a inversa de
são: