Encontre a equação de uma superfície quadrática cujas seções transversais nos planos z=0, y=0 e x=0 são elipses.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação de uma superfície quadrática (tipo uma esfera, elipsoide, etc.) onde, se a gente cortar essa superfície nos planos , e , todas as seções resultantes são elipses. A matéria que a gente vai usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente das superfícies quadráticas e suas seções planas. Vamos precisar lembrar como são as equações dessas superfícies e como elas se comportam quando fazemos cortes em planos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática geral tem a forma:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Mas, para simplificar, vamos considerar que a superfície está centrada na origem e alinhada com os eixos, ou seja, sem termos de produto como Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 1 , ou , e sem termos lineares , , . Assim, a equação fica mais simples:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa que as seções nos planos , e são todas elipses.
  • Plano : Substituindo na equação, temos . Isso é a equação de uma elipse.
  • Plano : Substituindo , temos . Também uma elipse.
  • Plano : Substituindo , temos . Mais uma elipse.
Isso confirma que nossa forma simplificada da equação atende à condição do problema.

Passo 4

Para deixar a equação ainda mais clara, podemos dividir todos os termos por 1 (que já está implícito) e reescrevê-la na forma padrão de uma elipsoide:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Onde são constantes positivas que definem os raios da elipsoide nos eixos , e , respectivamente.

Resposta

A equação da superfície quadrática é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1

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