Encontre a equação de uma superfície quadrática cujas seções transversais nos planos
e
são elipses.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação de uma superfície quadrática (tipo uma esfera, elipsoide, etc.) onde, se a gente cortar essa superfície nos planos
,
e
, todas as seções resultantes são elipses. A matéria que a gente vai usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente das superfícies quadráticas e suas seções planas. Vamos precisar lembrar como são as equações dessas superfícies e como elas se comportam quando fazemos cortes em planos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática geral tem a forma:
Mas, para simplificar, vamos considerar que a superfície está centrada na origem e alinhada com os eixos, ou seja, sem termos de produto como
,
ou
, e sem termos lineares
,
,
. Assim, a equação fica mais simples:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa que as seções nos planos
,
e
são todas elipses.
- Plano
: Substituindo na equação, temos . Isso é a equação de uma elipse. - Plano
: Substituindo , temos . Também uma elipse. - Plano
: Substituindo , temos . Mais uma elipse.
Isso confirma que nossa forma simplificada da equação atende à condição do problema.
Passo 4
Para deixar a equação ainda mais clara, podemos dividir todos os termos por 1 (que já está implícito) e reescrevê-la na forma padrão de uma elipsoide:
Onde
são constantes positivas que definem os raios da elipsoide nos eixos
,
e
, respectivamente.
Resposta
A equação da superfície quadrática é: