Dadas as matrizes A=[lllt & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1] e B=[lll2 & 2 & 2 0 & s & 2 1 & 1 & 2], com t, s in R fixados tais que t neq 3 e s neq 0, calcule o determinante de:
A^-1 B^T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes e , com elementos dependentes de e . Precisamos calcular o determinante de . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre determinantes, matrizes inversas e transpostas, além das propriedades desses determinantes.

Passo 2

Vamos lembrar que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
det(A^-1 B^T) = det(A^-1) cdot det(B^T)

Passo 3

Sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Portanto:
det(B^T) = det(B)

Passo 4

Também sabemos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Assim:
det(A^-1) = 1det(A)

Passo 5

Com essas propriedades, podemos reescrever a expressão inicial como:
det(A^-1 B^T) = det(B)det(A)

Passo 6

Agora, vamos calcular A = t & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1 . A matriz det(A) = t cdot (1 cdot 1 - 5 cdot 0) - 0 cdot (0 cdot 1 - 5 cdot 3) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 3) é:
det(A) = t cdot 1 - 0 + 1 cdot (-3) = t - 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular B = 2 & 2 & 2 0 & s & 2 1 & 1 & 2 . A matriz det(B) = 2 cdot (s cdot 2 - 2 cdot 1) - 2 cdot (0 cdot 2 - 2 cdot 1) + 2 cdot (0 cdot 1 - s cdot 1) é:
det(B) = 2 cdot (2s - 2) - 2 cdot (-2) + 2 cdot (-s) = 4s - 4 + 4 - 2s = 2s
Aplicando a regra de Sarrus:
Simplificando:

Passo 8

Com det(A^-1 B^T) = 2st - 3 e , substituímos na expressão:

Resposta

O determinante de é .

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