Resolva o sistena linear a seguir, usando escalonamento E por Teorema de Crammer:
l 3 x+5 y-1=2 5 x+2 y 7 z=1 1 x+3 y+4 z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Cramer, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. O sistema que temos é:
l 3x + 5y - z = 2 5x + 2y + 7z = 1 x + 3y + 4z = 3
Para isso, vamos precisar das determinantes das matrizes dos coeficientes e das matrizes substituídas pelo termo constante de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 3 & 5 & -1 5 & 2 & 7 1 & 3 & 4 :
Precisamos calcular o determinante dessa matriz .

Passo 3

Vamos calcular det(A) = 3 cdot (2 cdot 4 - 7 cdot 3) - 5 cdot (5 cdot 4 - 7 cdot 1) + (-1) cdot (5 cdot 3 - 2 cdot 1) :
det(A) = 3 cdot (8 - 21) - 5 cdot (20 - 7) -1 cdot (15 - 2)
Simplificando:
det(A) = 3 cdot (-13) - 5 cdot 13 -1 cdot 13
det(A) = -39 - 65 -13 = -117

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz Ax = 2 & 5 & -1 1 & 2 & 7 3 & 3 & 4 substituindo a coluna de det(Ax) = 2 cdot (2 cdot 4 - 7 cdot 3) - 5 cdot (1 cdot 4 - 7 cdot 3) + (-1) cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 3) pelos termos constantes:
det(Ax) = 2 cdot (8 - 21) - 5 cdot (4 - 21) -1 cdot (3 -6)
Calculamos det(Ax) = 2 cdot (-13) -5 cdot (-17) -1 cdot (-3) :
det(Ax) = -26 + 85 +3 = 62

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz Ay = 3 & 2 & -1 5 & 1 & 7 1 & 3 & 4 substituindo a coluna de det(Ay) = 3 cdot (1 cdot 4 - 7 cdot 3) - 2 cdot (5 cdot 4 - 7 cdot 1) + (-1) cdot (5 cdot 3 -1 cdot1) pelos termos constantes:
det(Ay) = 3 cdot (4 -21) - 2 cdot (20 -7) -1 cdot (15 -1)
Calculamos det(Ay) = 3 cdot (-17) -2 cdot 13 -1 cdot 14 :
det(Ay) = -51 -26 -14 = -91

Passo 6

Por fim, montamos a matriz Az = 3 & 5 & 2 5 & 2 & 1 1 & 3 & 3 substituindo a coluna de det(Az) = 3 cdot (2 cdot 3 -1 cdot 3) -5 cdot (5 cdot 3 -1 cdot1) +2 cdot (5 cdot 3 -2 cdot1) pelos termos constantes:
det(Az) = 3 cdot (6 -3) -5 cdot (15 -1) +2 cdot (15 -2)
Calculamos det(Az) = 3 cdot 3 -5 cdot 14 +2 cdot 13 :
det(Az) = 9 -70 +26 = -35

Passo 7

Agora, aplicamos a Fórmula de Cramer para encontrar as variáveis:
x = det(Ax)det(A) = 62-117 = -62117 approx -0,53
y = det(Ay)det(A) = -91-117 = 91117 approx 0,78
z = det(Az)det(A) = -35-117 = 35117 approx 0,30

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente , e .

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