Use a série de Taylor centrada em x=0 para descrever a função:
a. f(x)=cos (4 x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Taylor centrada em para descrever a função . Aqui, vamos trabalhar com a matemática de séries de Taylor, especificamente a série de Maclaurin, que é um caso especial da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de é uma soma infinita que representa como uma série de polinômios. Quando o centro é , chamamos de série de Maclaurin.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a série de Maclaurin para a função cosseno, que é:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a série de Maclaurin para cos(4x) = sumn=0^infty (-1)^n (4x)^2n(2n)! . Para isso, vamos substituir por na série de Maclaurin de :

Passo 5

Simplificando um pouco mais, podemos reescrever a série expandindo o termo cos(4x) = sumn=0^infty (-1)^n 16^n x^2n(2n)! = 1 - (16x^2)2! + (16x)^44! - (16x)^66! + cdots :

Resposta

A série de Taylor centrada em cos(4x) = sumn=0^infty (-1)^n (4x)^2n(2n)! = 1 - 16x^22! + 256x^44! - 4096x^66! + cdots para a função é:

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