Quais dos seguintes são combinações lineares de
A=[rr 4 & 0 -2 & -2 ], B=[rr 1 & -1 2 & 3 ], C=[ll 0 & 2 1 & 4 ] ?
(a) [rr6 & -8 -1 & -8]

Passo 1

Vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos três matrizes, 6 & -8 -1 & -8 , , xA + yB + zC = 6 & -8 -1 & -8 e , e queremos saber se a matriz do item (a),
pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes. Combinação linear quer dizer que existe uma forma de multiplicar cada uma das matrizes por certos números e somar tudo para chegar na matriz desejada. Ou seja, precisamos encontrar números , e tais que:

Passo 2

Vamos substituir as matrizes x 4 & 0 -2 & -2 + y 1 & -1 2 & 3 + z 0 & 2 1 & 4 = 6 & -8 -1 & -8 , 4x & 0x -2x & -2x + y & -y 2y & 3y + 0z & 2z z & 4z = 6 & -8 -1 & -8 e na equação acima:

Multiplicando cada matriz pelo seu respectivo coeficiente, temos:
[

+

+

.
]

Passo 3

Agora, somamos as matrizes da esquerda:
[
4x + y + 0z & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z = 6 & -8 -1 & -8

4x + y = 6 (1) -y + 2z = -8 (2) -2x + 2y + z = -1 (3) -2x + 3y + 4z = -8 (4) .
]
Isso nos dá um sistema de equações igualando cada posição das matrizes:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (1):
4x + y = 6 Rightarrow y = 6 - 4x
Agora, vamos usar essa expressão para -(6 - 4x) + 2z = -8 Rightarrow -6 + 4x + 2z = -8 na equação (2):
4x + 2z = -2 Rightarrow 2x + z = -1 Rightarrow z = -1 - 2x
Somando 6 dos dois lados:

Passo 5

Com -2x + 2(6 - 4x) + (-1 - 2x) = -1 e -2x + 12 - 8x -1 -2x = -1 Rightarrow -12x + 11 = -1 , vamos substituir na equação (3):
-12x = -12 Rightarrow x = 1
Simplificando:
Subtraindo 11 dos dois lados:

Passo 6

Agora que temos y = 6 - 4(1) = 2, , encontramos z = -1 - 2(1) = -3 e :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (4):
-2(1) + 3(2) + 4(-3) = -2 + 6 -12 = -8
Está correto! Portanto, os valores encontrados funcionam para todas as equações.

Resposta

Sim, a matriz
6 & -8 -1 & -8
é uma combinação linear das matrizes , e , onde os coeficientes são , e .

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