Nos exercícios 3 a 7 determinar uma equação geral do plano: O plano contém a reta
r:l x=2+t y=1-t z=3+2 t
e é perpendicular ao plano pi1: 2 x+2 y-3 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que:
  1. Contém a reta x = 2 + t y = 1 - t z = 3 + 2t definida por: 2x + 2y - 3z = 0
  2. É perpendicular ao plano :
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e normais de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta d = 1 -1 2 . A reta está parametrizada em , então o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Esse vetor indica a direção em que a reta está orientada.

Passo 3

O próximo passo é entender a condição de perpendicularidade entre os planos. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
Sabemos que o vetor normal n1 = 2 2 -3 do plano é:
Vamos chamar o vetor normal do plano que queremos encontrar de .

Passo 4

Como os planos são perpendiculares, temos que:
n cdot n1 = 0
Onde representa o produto escalar. Isso nos dá uma condição para os componentes de .

Passo 5

Além disso, o plano que queremos contém a reta n cdot d = 0 , então o vetor diretor da reta está no plano. Isso significa que é perpendicular a :
Agora temos um sistema de duas equações para determinar os componentes de .

Passo 6

Vamos escrever as equações explicitamente. Se a b c , então:
  1. Para a perpendicularidade dos planos:
2a + 2b - 3c = 0
  1. Para a perpendicularidade com a reta:
1a + (-1)b + 2c = 0
Então, nosso sistema é:
2a + 2b - 3c = 0 a - b + 2c = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a = b - 2c , 2(b - 2c) + 2b - 3c = 0 2b - 4c + 2b - 3c = 0 4b - 7c = 0 4b = 7c b = 74c e b = 74 times 4 = 7 a = 7 - 2 times 4 = -1 . Podemos expressar n = -1 7 4 em termos de e da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Escolhemos para simplificar (podemos escolher qualquer valor não nulo para ):
Então, o vetor normal é:

Passo 8

Agora que temos o vetor normal, podemos usar um ponto na reta P = (2, 1, 3) para encontrar a equação do plano. Vamos escolher n cdot (r - r0) = 0 , então o ponto na reta é:
A equação geral do plano é dada por:
Onde e .

Passo 9

Substituindo os valores:
-1(x - 2) + 7(y - 1) + 4(z - 3) = 0
Expandindo:
-1x + 2 + 7y - 7 + 4z - 12 = 0 - x + 7y + 4z - 17 = 0
Multiplicando por -1 para deixar a equação mais padrão:
x - 7y - 4z + 17 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
x - 7y - 4z + 17 = 0

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes abaixo:
A=[cc -5 & 34 10 & -3 ] ; B=[ll 8 & -6 5 & -1 ] C=[ccc -9 & 11 & 2 26 & 13 & 0 ] I3=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]
Calcule quando possível:
(A+B)^t
Determine a força no cilindro hidráulico BC em funçāo do ângulo theta e faça seu gráfico para 5^circ.
Adote g=9.81 m / s^2
Mostrar que são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) os seguintes subconjuntos:
U=A in M2 times 2(R) mid A^prime=A
Dadas as matrizes,
M=[cc x & y z & w ] ; N=[cc x & 6 -1 & 2 w ] P=[cc 4 & x+y z+w & 3 ]
Sabendo que 3 M=N+P, calcule o valor das incógnitas x, y, z, w.