Nos exercícios 3 a 7 determinar uma equação geral do plano: O plano contém a reta
e é perpendicular ao plano pi1: 2 x+2 y-3 z=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que:
Contém a reta x = 2 + t y = 1 - t z = 3 + 2t definida por: 2x + 2y - 3z = 0
É perpendicular ao plano :
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e normais de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta d = 1 -1 2 . A reta está parametrizada em , então o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Esse vetor indica a direção em que a reta está orientada.
Passo 3
O próximo passo é entender a condição de perpendicularidade entre os planos. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
Sabemos que o vetor normal n1 = 2 2 -3 do plano é:
Vamos chamar o vetor normal do plano que queremos encontrar de .
Passo 4
Como os planos são perpendiculares, temos que:
n cdot n1 = 0
Onde representa o produto escalar. Isso nos dá uma condição para os componentes de .
Passo 5
Além disso, o plano que queremos contém a reta n cdot d = 0 , então o vetor diretor da reta está no plano. Isso significa que é perpendicular a :
Agora temos um sistema de duas equações para determinar os componentes de .
Passo 6
Vamos escrever as equações explicitamente. Se a b c , então:
Para a perpendicularidade dos planos:
2a + 2b - 3c = 0
Para a perpendicularidade com a reta:
1a + (-1)b + 2c = 0
Então, nosso sistema é:
2a + 2b - 3c = 0 a - b + 2c = 0
Passo 7
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a = b - 2c , 2(b - 2c) + 2b - 3c = 0 2b - 4c + 2b - 3c = 0 4b - 7c = 0 4b = 7c b = 74c e b = 74 times 4 = 7 a = 7 - 2 times 4 = -1 . Podemos expressar n = -1 7 4 em termos de e da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Escolhemos para simplificar (podemos escolher qualquer valor não nulo para ):
Então, o vetor normal é:
Passo 8
Agora que temos o vetor normal, podemos usar um ponto na reta P = (2, 1, 3) para encontrar a equação do plano. Vamos escolher n cdot (r - r0) = 0 , então o ponto na reta é: