Mostrar que são subespaços vetoriais de
os seguintes subconjuntos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para mostrar que um certo conjunto de matrizes é um subespaço vetorial do espaço das matrizes
com números reais, denotado por
. O conjunto em questão é:
Aqui,
representa a transposta da matriz
. Nosso objetivo é provar que
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se:
- Elemento nulo: O vetor zero de
está em . - Fechamento pela adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento pela multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada um desses critérios para o conjunto
.
Passo 3
1. Elemento nulo:
O elemento nulo no espaço
é a matriz zero:
Precisamos verificar se
. Calculando a transposta de
:
Então,
, o que satisfaz a condição
. Portanto, o elemento nulo está em
.
Passo 4
2. Fechamento pela adição:
Vamos pegar duas matrizes
e
que pertencem a
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
, ou seja, que:
Calculando a transposta de
:
A igualdade
confirma que
também é uma matriz simétrica, pertencente a
.
Passo 5
3. Fechamento pela multiplicação escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz
e um escalar
. Sabemos que
. Queremos mostrar que
também está em
, ou seja:
Calculando a transposta de
:
A igualdade
confirma que
é uma matriz simétrica, pertencente a
.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.