Mostrar que são subespaços vetoriais de os seguintes subconjuntos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para mostrar que um certo conjunto de matrizes é um subespaço vetorial do espaço das matrizes com números reais, denotado por . O conjunto em questão é:
Aqui, representa a transposta da matriz . Nosso objetivo é provar que é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se:
Elemento nulo: O vetor zero de está em .
Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
Fechamento pela multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada um desses critérios para o conjunto .
Passo 3
1. Elemento nulo:
O elemento nulo no espaço é a matriz zero:
Precisamos verificar se . Calculando a transposta de :
Então, , o que satisfaz a condição . Portanto, o elemento nulo está em .
Passo 4
2. Fechamento pela adição:
Vamos pegar duas matrizes e que pertencem a . Isso significa que:
Queremos mostrar que também está em , ou seja, que:
Calculando a transposta de :
A igualdade confirma que também é uma matriz simétrica, pertencente a .
Passo 5
3. Fechamento pela multiplicação escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz e um escalar . Sabemos que . Queremos mostrar que também está em , ou seja:
Calculando a transposta de :
A igualdade confirma que é uma matriz simétrica, pertencente a .
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .