Mostrar que são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) os seguintes subconjuntos:
U=A in M2 times 2(R) mid A^prime=A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para mostrar que um certo conjunto de matrizes é um subespaço vetorial do espaço das matrizes U = A in M2 times 2(R) mid A^prime = A com números reais, denotado por . O conjunto em questão é:
Aqui, representa a transposta da matriz . Nosso objetivo é provar que é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se:
  1. Elemento nulo: O vetor zero de está em .
  2. Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento pela multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada um desses critérios para o conjunto .

Passo 3

1. Elemento nulo:
O elemento nulo no espaço 0 = 0 & 0 0 & 0 é a matriz zero:
0^prime = 0 & 0 0 & 0 = 0
Precisamos verificar se . Calculando a transposta de :
Então, , o que satisfaz a condição . Portanto, o elemento nulo está em .

Passo 4

2. Fechamento pela adição:
Vamos pegar duas matrizes A^prime = A e B^prime = B e (A + B)^prime = A + B que pertencem a (A + B)^prime = A^prime + B^prime = A + B . Isso significa que:
Queremos mostrar que também está em , ou seja, que:
Calculando a transposta de :
A igualdade confirma que também é uma matriz simétrica, pertencente a .

Passo 5

3. Fechamento pela multiplicação escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz (c cdot A)^prime = c cdot A e um escalar (c cdot A)^prime = c cdot A^prime = c cdot A . Sabemos que . Queremos mostrar que também está em , ou seja:
Calculando a transposta de :
A igualdade confirma que é uma matriz simétrica, pertencente a .

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial foram satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 3 a 7 determinar uma equação geral do plano: O plano contém a reta
r:l x=2+t y=1-t z=3+2 t
e é perpendicular ao plano pi1: 2 x+2 y-3 z=0.
Sejam as matrizes abaixo:
A=[cc -5 & 34 10 & -3 ] ; B=[ll 8 & -6 5 & -1 ] C=[ccc -9 & 11 & 2 26 & 13 & 0 ] I3=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]
Calcule quando possível:
(A+B)^t
Dadas as matrizes,
M=[cc x & y z & w ] ; N=[cc x & 6 -1 & 2 w ] P=[cc 4 & x+y z+w & 3 ]
Sabendo que 3 M=N+P, calcule o valor das incógnitas x, y, z, w.
Sejam T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y)=(y, x) e S(x, y)=(0, x)
Determine:
(a) (T+S)(x, y).