Dadas as matrizes reais 1 times 3, A=[lll1 & 0 & 0],
B=[lll0 & 1 & 0] e C=[lll0 & 0 & 1], determine as matrizes
X, Y e Z de M1 times 3(R) tais que:
r 2 X-Y+Z=A X-2 Y+Z=B 3 X+Y-Z=C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três matrizes reais 2X - Y + Z = A X - 2Y + Z = B 3X + Y - Z = C , chamadas , e . O objetivo é encontrar outras três matrizes , e que satisfaçam o sistema de equações:
Aqui, vamos usar álgebra matricial para resolver o sistema e encontrar as matrizes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada uma dessas matrizes é um vetor linha com 3 componentes. Vamos chamar:
X = x1 & x2 & x3 , Y = y1 & y2 & y3 , Z = z1 & z2 & z3
E as matrizes dadas são:
A = 1 & 0 & 0 , B = 0 & 1 & 0 , C = 0 & 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões no sistema de equações fornecido:
2X - Y + Z = A X - 2Y + Z = B 3X + Y - Z = C
Isso nos dá um sistema de três equações vetoriais. Podemos separar isso em componentes individuais para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos considerar cada componente das matrizes:
Para a primeira posição (primeiro número de cada matriz):
2x1 - y1 + z1 = 1 x1 - 2y1 + z1 = 0 3x1 + y1 - z1 = 0
Para a segunda posição:
2x2 - y2 + z2 = 0 x2 - 2y2 + z2 = 1 3x2 + y2 - z2 = 0
E para a terceira posição:
2x3 - y3 + z3 = 0 x3 - 2y3 + z3 = 0 3x3 + y3 - z3 = 1
Vamos resolver cada conjunto de equações separadamente.

Passo 5

Vamos começar resolvendo o sistema para a primeira posição:
2x1 - y1 + z1 = 1 (1) x1 - 2y1 + z1 = 0 (2) 3x1 + y1 - z1 = 0 (3)
Podemos resolver esse sistema de equações usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeiro, subtraia a equação (2) da equação (1):
(2x1 - y1 + z1) - (x1 - 2y1 + z1) = 1 - 0 x1 + y1 = 1 (4)
Agora, some as equações (2) e (3):
(x1 - 2y1 + z1) + (3x1 + y1 - z1) = 0 + 0 4x1 - y1 = 0 (5)
Agora, temos as equações (4) e (5):
x1 + y1 = 1 4x1 - y1 = 0
Somando essas duas equações:
( x1 + y1 ) + (4x1 - y1) = 1 + 0 5x1 = 1 x1 = 15
Substituindo 15 + y1 = 1 y1 = 1 - 15 = 45 na equação (4):
15 - 2(45) + z1 = 0 15 - 85 + z1 = 0 -75 + z1 = 0 z1 = 75
Agora, substituindo e na equação (2):

Passo 6

Vamos resolver o sistema para a segunda posição:
2x2 - y2 + z2 = 0 (1) x2 - 2y2 + z2 = 1 (2) 3x2 + y2 - z2 = 0 (3)
Novamente, vamos usar eliminação.
Subtraia a equação (2) da equação (1):
(2x2 - y2 + z2) - (x2 - 2y2 + z2) = 0 - 1 x2 + y2 = -1 (4)
Agora, some as equações (2) e (3):
(x2 - 2y2 + z2) + (3x2 + y2 - z2) = 1 + 0 4x2 - y2 = 1 (5)
Agora, temos as equações (4) e (5):
x2 + y2 = -1 4x2 - y2 = 1
Somando essas duas equações:
(x2 + y2) + (4x2 - y2) = -1 + 1 5x2 = 0 x2 = 0
Substituindo 0 + y2 = -1 y2 = -1 na equação (4):
2(0) - (-1) + z2 = 0 0 + 1 + z2 = 0 z2 = -1
Agora, substituindo e na equação (1):

Passo 7

Finalmente, vamos resolver o sistema para a terceira posição:
2x3 - y3 + z3 = 0 (1) x3 - 2y3 + z3 = 0 (2) 3x3 + y3 - z3 = 1 (3)
Usando eliminação novamente.
Subtraia a equação (2) da equação (1):
(2x3 - y3 + z3) - (x3 - 2y3 + z3) = 0 - 0 x3 + y3 = 0 (4)
Agora, some as equações (2) e (3):
(x3 - 2y3 + z3) + (3x3 + y3 - z3) = 0 + 1 4x3 - y3 = 1 (5)
Agora, temos as equações (4) e (5):
x3 + y3 = 0 4x3 - y3 = 1
Somando essas duas equações:
(x3 + y3) + (4x3 - y3) = 0 + 1 5x3 = 1 x3 = 15
Substituindo 15 + y3 = 0 y3 = -15 na equação (4):
2(15) - (-15) + z3 = 0 25 + 15 + z3 = 0 35 + z3 = 0 z3 = -35
Agora, substituindo e na equação (1):

Resposta

As matrizes que satisfazem o sistema são:
X = dfrac15 & 0 & dfrac15 , Y = dfrac45 & -1 & -dfrac15 , Z = dfrac75 & -1 & -dfrac35

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