Dadas as matrizes reais , e , determine as matrizes e de tais que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três matrizes reais , chamadas , e . O objetivo é encontrar outras três matrizes , e que satisfaçam o sistema de equações:
Aqui, vamos usar álgebra matricial para resolver o sistema e encontrar as matrizes , e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada uma dessas matrizes é um vetor linha com 3 componentes. Vamos chamar:
E as matrizes dadas são:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões no sistema de equações fornecido:
Isso nos dá um sistema de três equações vetoriais. Podemos separar isso em componentes individuais para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos considerar cada componente das matrizes:
Para a primeira posição (primeiro número de cada matriz):
Para a segunda posição:
E para a terceira posição:
Vamos resolver cada conjunto de equações separadamente.
Passo 5
Vamos começar resolvendo o sistema para a primeira posição:
Podemos resolver esse sistema de equações usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeiro, subtraia a equação (2) da equação (1):
Agora, some as equações (2) e (3):
Agora, temos as equações (4) e (5):
Somando essas duas equações:
Substituindo na equação (4):
Agora, substituindo e na equação (2):
Passo 6
Vamos resolver o sistema para a segunda posição:
Novamente, vamos usar eliminação.
Subtraia a equação (2) da equação (1):
Agora, some as equações (2) e (3):
Agora, temos as equações (4) e (5):
Somando essas duas equações:
Substituindo na equação (4):
Agora, substituindo e na equação (1):
Passo 7
Finalmente, vamos resolver o sistema para a terceira posição: