Identifique cada quádrica abaixo e determine suas interseções com os planos definidos pelos eixos coordenados:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação
e precisa identificar que tipo de superfície essa equação representa, que no caso é uma quádrica. Além disso, precisamos descobrir como essa superfície interage com os planos definidos pelos eixos coordenados, ou seja, os planos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e equações de superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície a equação
representa. Geralmente, as quádricas podem ser esferas, paraboloides, hiperbólicas, entre outras. Observando a equação, vemos termos quadráticos em
e
, mas apenas um termo linear em
. Isso sugere que estamos lidando com um paraboloide elíptico.
Passo 3
Agora, vamos determinar as interseções dessa superfície com os planos definidos pelos eixos coordenados. Isso significa que vamos analisar onde a quádica corta os planos
,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a interseção com o plano
. Para isso, definimos
na equação da quádica:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo no plano
.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a interseção com o plano
. Para isso, definimos
na equação da quádica:
Essa também é uma parábola que abre para baixo no plano
.
Passo 6
Por último, vamos determinar a interseção com o plano
. Para isso, definimos
na equação da quádica:
A única solução real para essa equação é
e
, ou seja, o ponto
. Portanto, a quádica toca o plano
apenas no ponto de origem.
Resposta
A equação
representa um paraboloide elíptico. As interseções com os planos coordenados são:
- Plano
: Uma parábola . - Plano
: Uma parábola . - Plano
: Apenas o ponto de origem .