Identifique cada quádrica abaixo e determine suas interseções com os planos definidos pelos eixos coordenados:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisa identificar que tipo de superfície essa equação representa, que no caso é uma quádrica. Além disso, precisamos descobrir como essa superfície interage com os planos definidos pelos eixos coordenados, ou seja, os planos , e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e equações de superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície a equação representa. Geralmente, as quádricas podem ser esferas, paraboloides, hiperbólicas, entre outras. Observando a equação, vemos termos quadráticos em e , mas apenas um termo linear em . Isso sugere que estamos lidando com um paraboloide elíptico.
Passo 3
Agora, vamos determinar as interseções dessa superfície com os planos definidos pelos eixos coordenados. Isso significa que vamos analisar onde a quádica corta os planos , e .
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a interseção com o plano . Para isso, definimos na equação da quádica:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo no plano .
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a interseção com o plano . Para isso, definimos na equação da quádica:
Essa também é uma parábola que abre para baixo no plano .
Passo 6
Por último, vamos determinar a interseção com o plano . Para isso, definimos na equação da quádica:
A única solução real para essa equação é e , ou seja, o ponto . Portanto, a quádica toca o plano apenas no ponto de origem.
Resposta
A equação representa um paraboloide elíptico. As interseções com os planos coordenados são: