Identifique cada quádrica abaixo e determine suas interseções com os planos definidos pelos eixos coordenados: x^2+y+z^2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisa identificar que tipo de superfície essa equação representa, que no caso é uma quádrica. Além disso, precisamos descobrir como essa superfície interage com os planos definidos pelos eixos coordenados, ou seja, os planos , e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e equações de superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície a equação representa. Geralmente, as quádricas podem ser esferas, paraboloides, hiperbólicas, entre outras. Observando a equação, vemos termos quadráticos em e , mas apenas um termo linear em . Isso sugere que estamos lidando com um paraboloide elíptico.

Passo 3

Agora, vamos determinar as interseções dessa superfície com os planos definidos pelos eixos coordenados. Isso significa que vamos analisar onde a quádica corta os planos , e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a interseção com o plano x^2 + y + 0^2 = 0 implies x^2 + y = 0 implies y = -x^2 . Para isso, definimos na equação da quádica:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo no plano .

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a interseção com o plano 0^2 + y + z^2 = 0 implies y + z^2 = 0 implies y = -z^2 . Para isso, definimos na equação da quádica:
Essa também é uma parábola que abre para baixo no plano .

Passo 6

Por último, vamos determinar a interseção com o plano x^2 + 0 + z^2 = 0 implies x^2 + z^2 = 0 . Para isso, definimos na equação da quádica:
A única solução real para essa equação é e , ou seja, o ponto . Portanto, a quádica toca o plano apenas no ponto de origem.

Resposta

A equação representa um paraboloide elíptico. As interseções com os planos coordenados são:
  • Plano : Uma parábola .
  • Plano : Uma parábola .
  • Plano : Apenas o ponto de origem .

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