Obtenha a equacão do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano do ponto . Que conjunto é este?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes do plano e do ponto . Isso envolve conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre distâncias entre pontos e planos. Vamos precisar usar a fórmula de distância entre um ponto e um plano, além da distância entre dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos representar um ponto qualquer no espaço como . Nosso objetivo é achar todas as posições de que satisfazem a condição de estar à mesma distância do plano e do ponto .
Passo 3
Vamos calcular a distância do ponto até o plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano da forma é:
No nosso caso, o plano é definido por , que pode ser reescrito como . Assim,
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto até o ponto . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Substituindo ,
Passo 5
Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, montamos a seguinte equação:
Para facilitar, vamos eliminar o valor absoluto e o radical. Como a distância é sempre positiva, podemos quadrar ambos os lados:
Passo 6
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -8:
Resposta
A equação do lugar geométrico é , que representa um paraboloide circular no espaço tridimensional.