Obtenha a equacão do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano do ponto . Que conjunto é este?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes do plano e do ponto . Isso envolve conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre distâncias entre pontos e planos. Vamos precisar usar a fórmula de distância entre um ponto e um plano, além da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos representar um ponto qualquer no espaço como . Nosso objetivo é achar todas as posições de que satisfazem a condição de estar à mesma distância do plano e do ponto .

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto até o plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano da forma é:
No nosso caso, o plano é definido por , que pode ser reescrito como . Assim,

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto até o ponto . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Substituindo ,

Passo 5

Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, montamos a seguinte equação:
Para facilitar, vamos eliminar o valor absoluto e o radical. Como a distância é sempre positiva, podemos quadrar ambos os lados:

Passo 6

Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -8:

Resposta

A equação do lugar geométrico é , que representa um paraboloide circular no espaço tridimensional.

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matrizes em . Calcule .
é um autovalor de
Se é um inteiro positivo, e é um autovalor de uma matriz e é um autovetor associado, então é um autovalor de e é um autovetor.
Encontre os autovalores de se
Dadas as matrizes reais ,
e , determine as matrizes
e de tais que:
Identifique cada quádrica abaixo e determine suas interseções com os planos definidos pelos eixos coordenados: