Encontre uma matriz ortogonal que diagonaliza
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz ortogonal que diagonalize a matriz dada:
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes ortogonais e como elas podem diagonalizar outras matrizes.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz ortogonal? Uma matriz é ortogonal se ela satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de são vetores ortonormais (ou seja, têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si).

Passo 3

Agora, o que significa diagonalizar uma matriz? Diagonalizar usando uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal tal que:
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Isso simplifica muitos cálculos!

Passo 4

Mas, como encontrar essa matriz ? Geralmente, para diagonalizar uma matriz de forma ortogonal, precisa ser uma matriz simétrica (ou seja, ). Matrizes simétricas têm propriedades especiais que garantem que elas possam ser diagonalizadas por matrizes ortogonais.

Passo 5

Vamos verificar se a matriz é simétrica:
Claramente, , pois, por exemplo, o elemento é diferente de .

Passo 6

Então, o que isso significa? Já que não é simétrica, ela não pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal . Isso ocorre porque a diagonalização ortogonal só é possível para matrizes simétricas.

Resposta

Não existe uma matriz ortogonal que diagonalize a matriz , pois não é simétrica.

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Identifique cada quádrica abaixo e determine suas interseções com os planos definidos pelos eixos coordenados:
Dadas as matrizes reais ,
e , determine as matrizes
e de tais que:
Verificar, para a matriz
que para quaisquer .
Seja uma base de , um espaço vetorial real com produto interno .
, a base é ortonormal?