Dadas as matrizes A=[rrr-2 & 1 & 0 1 & 2 & 3 4 & -3 & 1] e B=[rrr5 & 0 & 2 3 & 4 & 2 1 & -1 & 0] encontre a matriz X, se
(A+4 B-2 X)^t=3(A^t-2 B)
R. [rrr27 & 8 & 7 5 & 18 & -2 4 & 7 & -1]

Passo 1

Vamos resolver o problema onde temos duas matrizes (A + 4B - 2X)^t = 3(A^t - 2B) e e precisamos encontrar a matriz que satisfaz a equação:
Aqui, estamos lidando com conceitos de matrizes, transposição e resolução de equações matriciais. Para resolver isso, precisamos manipular a equação passo a passo usando operações de matrizes e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a notação. O símbolo representa a transposta de uma matriz, ou seja, troca as linhas pelas colunas. Nosso objetivo é isolar .

Passo 3

Vamos começar aplicando a transposta do lado esquerdo da equação:
(A + 4B - 2X)^t = A^t + 4B^t - 2X^t
Isso porque a transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas, e a transposta de um escalar multiplicando uma matriz é o escalar multiplicando a transposta da matriz.

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na equação original:
A^t + 4B^t - 2X^t = 3(A^t - 2B)

Passo 5

Vamos distribuir o 3 do lado direito:
A^t + 4B^t - 2X^t = 3A^t - 6B

Passo 6

Agora, vamos levar todas as matrizes que não contêm -2X^t = 3A^t - 6B - A^t - 4B^t para um lado da equação e deixar -2X^t = 2A^t - 6B - 4B^t do outro lado. Subtraímos e de ambos os lados:
Simplificando:

Passo 7

Agora, isole X^t = 1-2 (2A^t - 6B - 4B^t ) = -A^t + 3B + 2B^t dividindo ambos os lados por -2:

Passo 8

Para encontrar X = ( -A^t + 3B + 2B^t )^t , precisamos tirar a transposta de ambos os lados da equação:
X = -A + 3B^t + 2B
Usando a propriedade de que a transposta de uma soma é a soma das transpostas e a transposta de um produto escalar é o produto escalar da transposta, temos:

Passo 9

Finalmente, substituímos as matrizes X = - -2 & 1 & 0 1 & 2 & 3 4 & -3 & 1 + 3 5 & 0 & 2 3 & 4 & 2 1 & -1 & 0 ^t + 2 5 & 0 & 2 3 & 4 & 2 1 & -1 & 0 e X = 2 & -1 & 0 -1 & -2 & -3 -4 & 3 & -1 + 3 5 & 3 & 1 0 & 4 & -1 2 & 2 & 0 + 2 5 & 0 & 2 3 & 4 & 2 1 & -1 & 0 pelos seus valores:
X = 2 & -1 & 0 -1 & -2 & -3 -4 & 3 & -1 + 15 & 9 & 3 0 & 12 & -3 6 & 6 & 0 + 10 & 0 & 4 6 & 8 & 4 2 & -2 & 0
Calculando as transpostas e multiplicando pelos escalares:

Resposta

X = 27 & 8 & 7 5 & 18 & -2 4 & 7 & -1

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