Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Seja uma matriz quadrada de ordem . Se é inversível então é um autovalor de A.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem . A proposição diz que se é inversível (ou seja, tem inversa), então é um autovalor de . Vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser inversível e o que são autovalores.
Passo 2
Primeiro, uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Uma propriedade importante é que é inversível se e somente se seu determinante é diferente de zero.
Passo 3
Agora, sobre autovalores. Um escalar é chamado de autovalor de se existe um vetor não nulo tal que . Isso significa que aplicar a matriz ao vetor apenas o “estica” ou “encolhe” por um fator .
Passo 4
Uma propriedade crucial relacionada aos autovalores é que uma matriz é inversível se e somente se zero não é um de seus autovalores. Isso porque se fosse um autovalor, isso implicaria que tem um vetor não nulo tal que , o que significa que não tem inversa (pois não é injetora).
Passo 5
Vamos aplicar isso à proposição. A afirmação diz que se é inversível, então é um autovalor de . Mas segundo a propriedade que discutimos, se é inversível, então zero não pode ser um autovalor. Portanto, a proposição está dizendo o contrário da verdade.