Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se
é inversível então
é um autovalor de A.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
. A proposição diz que se
é inversível (ou seja, tem inversa), então
é um autovalor de
. Vamos analisar se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, precisamos entender o que significa uma matriz ser inversível e o que são autovalores.
Passo 2
Primeiro, uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Uma propriedade importante é que
é inversível se e somente se seu determinante
é diferente de zero.
Passo 3
Agora, sobre autovalores. Um escalar
é chamado de autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que
. Isso significa que aplicar a matriz
ao vetor
apenas o “estica” ou “encolhe” por um fator
.
Passo 4
Uma propriedade crucial relacionada aos autovalores é que uma matriz
é inversível se e somente se zero não é um de seus autovalores. Isso porque se
fosse um autovalor, isso implicaria que
tem um vetor não nulo
tal que
, o que significa que
não tem inversa (pois não é injetora).
Passo 5
Vamos aplicar isso à proposição. A afirmação diz que se
é inversível, então
é um autovalor de
. Mas segundo a propriedade que discutimos, se
é inversível, então zero não pode ser um autovalor. Portanto, a proposição está dizendo o contrário da verdade.
Resposta
A proposição é falsa.