Dado o ponto e sabendo que , o ponto médio do segmento AC é igual a (3925, 541100, 7320), calcule:
c) Calcule a medida de suas diagonais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto , o vetor e o ponto médio de que é . A gente vai calcular a medida das diagonais desse conjunto de pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto B = A + AB . Sabemos que B = (-3, 2, 4) + (5, 0, 0) . Isso significa que para chegar em B = (2, 2, 4) , a gente adiciona esse vetor a .
Então, .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto Ponto Médio = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . Sabemos que o ponto médio de ( -3 + xC2, 2 + yC2, 4 + zC2 ) = ( 3925, 541100, 7320 ) é -3 + xC2 = 3925 . A fórmula do ponto médio entre dois pontos -3 + xC = 7825 e xC = 7825 + 3 = 7825 + 7525 = 15325 é:
2 + yC2 = 541100 é
Vamos igualar isso ao ponto médio dado e resolver para 2 + yC = 1082100 = 54150 :
yC = 54150 - 2 = 54150 - 10050 = 44150
Resolvendo cada coordenada:
Para 4 + zC2 = 7320 :
4 + zC = 14620 = 7310
Multiplicando ambos os lados por 2:
zC = 7310 - 4 = 7310 - 4010 = 3310
Adicionando 3 em ambos os lados:
Para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo 2:
Para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo 4:
Então, .
Passo 4
Agora que temos os pontos AB = (5, 0, 0) , AC = C - A e AC = ( 15325 - (-3), 44150 - 2, 3310 - 4 ) , vamos calcular as medidas das diagonais. As diagonais podem ser representadas pelos vetores AC = ( 15325 + 3, 44150 - 10050, 3310 - 4010 ) e AC = ( 153 + 7525, 441 - 10050, 33 - 4010 ) .
Já sabemos que:
AC = ( 22825, 34150, -710 )
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento desses vetores, que são as medidas das diagonais. A fórmula para o comprimento de um vetor | V | = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 é:
| AB | = raiz5^2 + 0^2 + 0^2 = raiz25 = 5
Primeiro, para | AC | = raiz ( 22825 )^2 + ( 34150 )^2 + ( -710 )^2 :
| AC | = raiz 51984625 + 1162812500 + 49100
Segundo, para | AC | = raiz 51984 times 42500 + 1162812500 + 49 times 252500 :
| AC | = raiz 2079362500 + 1162812500 + 12252500
| AC | = raiz 207936 + 116281 + 12252500
| AC | = raiz 3254422500
| AC | = raiz130.1768
| AC | approx 11.41
Resposta
As medidas das diagonais são aproximadamente e unidades.