Dadas f(t, u) = t^2 * u, g(t, u) = t + u^2 e phi(t, u) = f^2 + g^2, calcule phi_t e phi_u.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e . A função é definida como a soma dos quadrados de e , ou seja, . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e , denotadas por e respectivamente. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar regras de derivação.

Passo 2

Vamos começar calculando . Substituindo e na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos expandir os quadrados para simplificar a expressão:

Passo 4

Para encontrar , que é a derivada parcial de em relação a , tratamos como uma constante e derivamos cada termo da expressão de em relação a :

Passo 5

Calculando cada derivada separadamente:
Juntando tudo:

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a . Desta vez, tratamos como uma constante e derivamos cada termo da expressão de em relação a :

Passo 7

Calculando cada derivada separadamente:
Juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=arctg xy
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: lim (x, y) (0,0) x^3+x y^2x^2+y^2
Resolver
(a) Se r(t) = <t, t^2, t^3>, encontre r'(t), T(1), r''(t) e r'(t) x r''(t).
(b) Se r(t) = < e^(2t), e^(-2t), t e^(2t) >, encontre T(0), r''(0) e r'(t) . r''(t).
Se u e v são funções de x, calcule d y / d x quando: y = u * v