Dadas
e
, calcule
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
. A função
é definida como a soma dos quadrados de
e
, ou seja,
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, denotadas por
e
respectivamente. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar regras de derivação.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos expandir os quadrados para simplificar a expressão:
Passo 4
Para encontrar
, que é a derivada parcial de
em relação a
, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo da expressão de
em relação a
:
Passo 5
Calculando cada derivada separadamente:
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Desta vez, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo da expressão de
em relação a
:
Passo 7
Calculando cada derivada separadamente:
Juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Resolver
(a) Se , encontre
e
.
(b) Se , encontre
e
.
(a) Se
(b) Se
Se
e
são funções de
, calcule
quando: