Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: lim (x, y) (0,0) x^3+x y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, lim (x, y) (0,0) x^3+x y^2x^2+y^2 e , quando elas se aproximam do ponto . O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites multivariáveis e coordenadas polares. Precisamos verificar se o limite existe ou se ele depende do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender coordenadas polares. Em vez de usar x = r cos(theta) y = r sin(theta) e , a gente usa e , onde:
Aqui, é a distância do ponto até a origem , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Vamos reescrever o numerador e o denominador da nossa expressão usando essas coordenadas polares.
Numerador:
x^3 + x y^2 = (r cos(theta))^3 + (r cos(theta))(r sin(theta))^2 = r^3 cos^3(theta) + r^3 cos(theta) sin^2(theta) = r^3 cos(theta) ( cos^2(theta) + sin^2(theta) ) = r^3 cos(theta) times 1 (porque cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1) = r^3 cos(theta)
Denominador:
x^2 + y^2 = (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2 times 1 = r^2

Passo 4

Agora, substituímos esses resultados na nossa expressão original:
x^3 + x y^2x^2 + y^2 = r^3 cos(theta)r^2 = r cos(theta)

Passo 5

Para encontrar o limite quando limr to 0 r cos(theta) , ou seja, quando , observamos a expressão simplificada:
Aqui, é uma função que varia entre -1 e 1, mas está se aproximando de 0. Portanto, também se aproxima de 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^3+x y^2x^2+y^2 = 0

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