Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam do ponto
. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites multivariáveis e coordenadas polares. Precisamos verificar se o limite existe ou se ele depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender coordenadas polares. Em vez de usar
e
, a gente usa
e
, onde:
Aqui,
é a distância do ponto
até a origem
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Vamos reescrever o numerador e o denominador da nossa expressão usando essas coordenadas polares.
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Agora, substituímos esses resultados na nossa expressão original:
Passo 5
Para encontrar o limite quando
, ou seja, quando
, observamos a expressão simplificada:
Aqui,
é uma função que varia entre -1 e 1, mas
está se aproximando de 0. Portanto,
também se aproxima de 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Se
e
: determine
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto
especificado:
.
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Dadas
e
, calcule
e
.