Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para achar as derivadas parciais da função
. Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais e a regra da cadeia, que são ferramentas importantes no cálculo multivariável. Precisamos descobrir como
muda quando variamos
e quando variamos
separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem uma composição, onde
e
.
Para derivar
em relação a
, usamos a regra:
Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a função
e
, temos:
Derivando
em relação a
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Se
e
: determine
Dadas
e
, calcule
e
.
Resolver
(a) Se , encontre
e
.
(b) Se , encontre
e
.
(a) Se
(b) Se