Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=arctg xy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para achar as derivadas parciais da função . Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais e a regra da cadeia, que são ferramentas importantes no cálculo multivariável. Precisamos descobrir como muda quando variamos e quando variamos separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de ddu arctan(u) = 11 + u^2 em relação a partial fpartial x = 11 + (xy)^2 cdot partialpartial x(xy) , ou seja, partialpartial x(xy) = 1y .
A função partial fpartial x = 11 + x^2y^2 cdot 1y = yx^2 + y^2 tem uma composição, onde e .
Para derivar em relação a , usamos a regra:
Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = 11 + (xy)^2 cdot partialpartial y(xy) em relação a partialpartial y(xy) = -xy^2 , ou seja, partial fpartial y = 11 + x^2y^2 cdot (-xy^2) = -xx^2 + y^2 .
Usando novamente a função e , temos:
Derivando em relação a :
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = yx^2 + y^2
e
partial fpartial y = -xx^2 + y^2

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