Resolver
(a) Se r(t) = <t, t^2, t^3>, encontre r'(t), T(1), r''(t) e r'(t) x r''(t).
(b) Se r(t) = < e^(2t), e^(-2t), t e^(2t) >, encontre T(0), r''(0) e r'(t) . r''(t).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que tem duas partes, (a) e (b). O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas de funções vetoriais, velocidade, aceleração, vetor tangente unitário, produto vetorial e produto escalar. Precisamos entender como derivar cada componente da função vetorial e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar as quantidades pedidas.

Parte (a)

Passo 2

Função Vetorial dada:
Para encontrar r'(t), derivamos cada componente em relação a t.

Passo 3

Derivada de r(t):

Passo 4

Encontrar o vetor tangente unitário :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 5

Segunda Derivada r''(t):
Derivamos novamente cada componente de r'(t):

Passo 6

Produto Vetorial r'(t) x r''(t):
Calculamos o produto vetorial entre e :

Parte (b)

Passo 7

Função Vetorial dada:
Vamos encontrar , e r'(t) . r''(t).

Passo 8

Derivada de r(t):
Segunda Derivada r''(t):

Passo 9

Encontrar o vetor tangente unitário :
Primeiro, calculamos :
Magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 10

Encontrar :
Substituímos na segunda derivada:

Passo 11

Encontrar o produto escalar r'(t) . r''(t):
Calculamos o produto escalar entre e :

Resposta

Parte (a):
Parte (b):

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