Dadas as proposições, julgue como verdadeiro (V) ou falso (F). O conjunto R^2 é um subespaço de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que julgar se a proposição "O conjunto R^2 é um subespaço de R^3" é verdadeira ou falsa. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e as relações entre espaços vetoriais de diferentes dimensões. Para resolver, vamos lembrar o que é um subespaço e verificar se R^2 satisfaz os requisitos para ser um subespaço de R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares.
Ou seja, para qualquer dois vetores no subespaço, a soma deles também está no subespaço, e para qualquer vetor no subespaço, qualquer múltiplo escalar dele também está no subespaço.

Passo 3

Agora, vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos. O espaço R^2 é um espaço vetorial de dimensão 2, enquanto o espaço R^3 tem dimensão 3. Para que R^2 seja um subespaço de R^3, R^2 precisaria estar contido em R^3 de uma forma que preserve sua estrutura vetorial.

Passo 4

No entanto, R^2 não está naturalmente contido em R^3. Para que isso aconteça, precisaríamos definir uma maneira específica de incorporar R^2 em R^3, como por exemplo, considerando vetores da forma (x, y, 0). Mas, sem essa definição explícita, R^2 não é diretamente um subespaço de R^3 porque eles têm dimensões diferentes e não há uma inclusão natural.

Passo 5

Portanto, sem uma definição específica que incorpore R^2 dentro de R^3 mantendo as propriedades de subespaço, a proposição de que R^2 é um subespaço de R^3 é falsa.

Resposta

Falso (F).

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