Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a dimensão e uma base para um subespaço vetorial de matrizes . O subespaço é formado por todas as matrizes que satisfazem a condição . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, dimensão e base, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa condição . Ela relaciona os elementos da matriz, e nossa ideia é expressar alguns desses elementos em função dos outros para simplificar a descrição do subespaço.

Passo 3

Vamos reescrever a condição para isolar uma das variáveis. Vamos escolher :
Isso significa que, se conhecermos , e , podemos determinar . Então, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, vamos expressar essa matriz em termos de combinações lineares de matrizes básicas. Podemos separar os termos que dependem de , e :

Passo 5

As matrizes que aparecem na combinação linear acima vão formar a nossa base. Vamos verificar se são linearmente independentes. Olhando para elas:
Nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras, então elas são linearmente independentes.

Passo 6

Como encontramos 3 matrizes linearmente independentes que geram o subespaço, a dimensão desse subespaço é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço é 3 e uma base para ele é formada pelas matrizes:

Exercícios relacionados

Dadas as proposições, julgue como verdadeiro (V) ou falso (F). O conjunto é um subespaço de .
Dadas as proposições, julgue como verdadeiro (V) ou falso (F). Um vetor do espaço tridimensional é um segmento de reta orientado (uma flecha).
Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos: (iv) uma base e a dimensão de . , .
Dados os vetores e , calcule: