Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a dimensão e uma base para um subespaço vetorial de matrizes
. O subespaço é formado por todas as matrizes
que satisfazem a condição
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, dimensão e base, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa condição
. Ela relaciona os elementos da matriz, e nossa ideia é expressar alguns desses elementos em função dos outros para simplificar a descrição do subespaço.
Passo 3
Vamos reescrever a condição para isolar uma das variáveis. Vamos escolher
:
Isso significa que, se conhecermos
,
e
, podemos determinar
. Então, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
Passo 4
Agora, vamos expressar essa matriz em termos de combinações lineares de matrizes básicas. Podemos separar os termos que dependem de
,
e
:
Passo 5
As matrizes que aparecem na combinação linear acima vão formar a nossa base. Vamos verificar se são linearmente independentes. Olhando para elas:
Nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras, então elas são linearmente independentes.
Passo 6
Como encontramos 3 matrizes linearmente independentes que geram o subespaço, a dimensão desse subespaço é 3.
Resposta
A dimensão do subespaço é 3 e uma base para ele é formada pelas matrizes:
Exercícios relacionados
Dadas as proposições, julgue como verdadeiro (V) ou falso (F). O conjunto
é um subespaço de
.
Dadas as proposições, julgue como verdadeiro (V) ou falso (F). Um vetor do espaço tridimensional é um segmento de reta orientado (uma flecha).
Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos: (iv) uma base e a dimensão de
.
,
.
Dados os vetores
e
, calcule: