Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) : (lla & b c & d) ; a+d=b+c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a dimensão e uma base para um subespaço vetorial de matrizes a & b c & d . O subespaço é formado por todas as matrizes que satisfazem a condição . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, dimensão e base, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa condição . Ela relaciona os elementos da matriz, e nossa ideia é expressar alguns desses elementos em função dos outros para simplificar a descrição do subespaço.

Passo 3

Vamos reescrever a condição para isolar uma das variáveis. Vamos escolher d = b + c - a :
a & b c & b + c - a
Isso significa que, se conhecermos , e , podemos determinar . Então, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, vamos expressar essa matriz em termos de combinações lineares de matrizes básicas. Podemos separar os termos que dependem de a & b c & b + c - a = a 1 & 0 0 & -1 + b 0 & 1 0 & 1 + c 0 & 0 1 & 1 , e :

Passo 5

As matrizes que aparecem na combinação linear acima vão formar a nossa base. Vamos verificar se são linearmente independentes. Olhando para elas:
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 1
Nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras, então elas são linearmente independentes.

Passo 6

Como encontramos 3 matrizes linearmente independentes que geram o subespaço, a dimensão desse subespaço é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço é 3 e uma base para ele é formada pelas matrizes:
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 1

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