Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos: (iv) uma base e a dimensão de U cap W. U=(x, y, z, t) in R^4 / x+y=t-z=0, W=(x, y, z, t) in R^4 / x+y-t+z=0, V=R^4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , dentro do espaço vetorial . O objetivo é encontrar uma base e a dimensão da interseção desses subespaços, ou seja, .
Conteúdo envolvido: Vamos mexer com subespaços vetoriais, interseção de subespaços, bases e dimensão. Para resolver isso, a gente precisa estar por dentro de como encontrar vetores que pertencem a ambos os subespaços e como determinar uma base para esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a interseção . Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em quanto em . Então, para encontrar , precisamos achar os vetores que satisfazem as equações de e as de ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos reescrever as condições de x + y = 0 t - z = 0 e x + y - t + z = 0 :
Para :
Para :
Agora, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem as duas condições de e a condição de .

Passo 4

Vamos usar as equações de x + y = 0 implies y = -x para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação de t - z = 0 implies t = z :
x + (-x) - z + z = 0 implies 0 = 0
Da segunda equação de :
Agora, substituímos e na equação de :
Isso significa que, qualquer vetor que satisfaz as equações de automaticamente satisfaz a equação de . Portanto, .

Passo 5

Como y = -x t = z , agora precisamos encontrar uma base para (x, y, z, t) = (x, -x, z, z) = x(1, -1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1) e sua dimensão.
Voltando às equações de :
Podemos expressar os vetores de em função de e :

Passo 6

Então, uma base para , 1 -1 0 0, 0 0 1 1 , (e, portanto, para ) é formada pelos vetores que multiplicam os parâmetros livres e :

Passo 7

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos dois vetores na base de , a dimensão é 2.

Resposta

Uma base para 1 -1 0 0 é 0 0 1 1 e a dimensão de é 2.

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