Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos: (iv) uma base e a dimensão de . , .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , dentro do espaço vetorial . O objetivo é encontrar uma base e a dimensão da interseção desses subespaços, ou seja, .
Conteúdo envolvido: Vamos mexer com subespaços vetoriais, interseção de subespaços, bases e dimensão. Para resolver isso, a gente precisa estar por dentro de como encontrar vetores que pertencem a ambos os subespaços e como determinar uma base para esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a interseção . Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em quanto em . Então, para encontrar , precisamos achar os vetores que satisfazem as equações de e as de ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos reescrever as condições de e :
Para :
Para :
Agora, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem as duas condições de e a condição de .
Passo 4
Vamos usar as equações de para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação de :
Da segunda equação de :
Agora, substituímos e na equação de :
Isso significa que, qualquer vetor que satisfaz as equações de automaticamente satisfaz a equação de . Portanto, .
Passo 5
Como , agora precisamos encontrar uma base para e sua dimensão.
Voltando às equações de :
Podemos expressar os vetores de em função de e :
Passo 6
Então, uma base para (e, portanto, para ) é formada pelos vetores que multiplicam os parâmetros livres e :
Passo 7
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos dois vetores na base de , a dimensão é 2.