Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos: (iv) uma base e a dimensão de . , .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , dentro do espaço vetorial . O objetivo é encontrar uma base e a dimensão da interseção desses subespaços, ou seja, .
Conteúdo envolvido: Vamos mexer com subespaços vetoriais, interseção de subespaços, bases e dimensão. Para resolver isso, a gente precisa estar por dentro de como encontrar vetores que pertencem a ambos os subespaços e como determinar uma base para esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a interseção . Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em quanto em . Então, para encontrar , precisamos achar os vetores que satisfazem as equações de e as de ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos reescrever as condições de e :
Para :
Para :
Agora, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem as duas condições de e a condição de .

Passo 4

Vamos usar as equações de para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação de :
Da segunda equação de :
Agora, substituímos e na equação de :
Isso significa que, qualquer vetor que satisfaz as equações de automaticamente satisfaz a equação de . Portanto, .

Passo 5

Como , agora precisamos encontrar uma base para e sua dimensão.
Voltando às equações de :
Podemos expressar os vetores de em função de e :

Passo 6

Então, uma base para (e, portanto, para ) é formada pelos vetores que multiplicam os parâmetros livres e :

Passo 7

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos dois vetores na base de , a dimensão é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados

Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de : .
Dadas as proposições, julgue como verdadeiro (V) ou falso (F). O conjunto é um subespaço de .
Dados os vetores e , calcule:
Dados os vetores e , calcule: