Dadas as retas r: x-11=y-2-1=z+32 e s: x-14=y-22=z+31, obter:
(a) a reta perpendicular comum a ambas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma reta que seja perpendicular às duas retas dadas, ou seja, uma reta que seja comum e perpendicular a ambas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e produto vetorial, que vão nos ajudar a encontrar a direção e a posição da reta que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Esses vetores indicam a direção em que cada reta está apontando.
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta perpendicular comum às duas retas vr times vs = i & j & k 1 & -1 & 2 4 & 2 & 1 = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((1)(1) - (2)(4)) + k((1)(2) - (-1)(4)) e = i(-1 - 4) - j(1 - 8) + k(2 + 4) . Para isso, vamos calcular o produto vetorial ( = i(-5) - j(-7) + k(6) ), que nos dará um vetor perpendicular a ambos os vetores diretores.
Calculando o produto vetorial:
= (-5, 7, 6)
Então, a direção da reta perpendicular é .

Passo 4

Com a direção da reta perpendicular definida, precisamos determinar um ponto por onde essa reta passa. Para isso, vamos encontrar as equações paramétricas das retas x = 1 + t y = 2 - t z = -3 + 2t e x = 1 + 4u y = 2 + 2u z = -3 + u e resolver o sistema que garante que a reta perpendicular intersecta ambas de forma perpendicular.
Vamos parametrizar as retas:
Para PQ = Q - P = (1 + 4u - (1 + t), 2 + 2u - (2 - t), -3 + u - (-3 + 2t)) = (4u - t, 2u + t, u - 2t) :
4u - t = -5k 2u + t = 7k u - 2t = 6k
Para :
Agora, vamos considerar um ponto na reta e um ponto na reta tais que o vetor seja paralelo à direção da reta perpendicular .
Assim, temos:
Como deve ser paralelo a , existe um escalar tal que:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (4u - t) + (2u + t) = -5k + 7k 6u = 2k u = 13k , 13k - 2t = 6k -2t = 6k - 13k -2t = 18k - 1k3 -2t = 17k3 t = -17k6 e 4(13k) - (-17k6) = -5k 4k3 + 17k6 = -5k 8k6 + 17k6 = -5k 25k6 = -5k 25k = -30k 55k = 0 k = 0 .
Primeiramente, somamos as duas primeiras equações:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e em termos de na primeira equação:
Com , encontramos e .
Portanto, o ponto na reta é e o ponto na reta também é .

Passo 6

Observamos que os pontos e coincidem, o que significa que as retas e se intersectam no ponto . Portanto, a reta perpendicular comum às duas retas passa por esse ponto e tem direção .

Resposta

A reta perpendicular comum às retas x - 1-5 = y - 27 = z + 36 e é dada por:

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