Dadas as retas e , obter:
(a) a reta perpendicular comum a ambas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma reta que seja perpendicular às duas retas dadas, ou seja, uma reta que seja comum e perpendicular a ambas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e produto vetorial, que vão nos ajudar a encontrar a direção e a posição da reta que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . Esses vetores indicam a direção em que cada reta está apontando.
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção da reta perpendicular comum às duas retas e . Para isso, vamos calcular o produto vetorial (), que nos dará um vetor perpendicular a ambos os vetores diretores.
Calculando o produto vetorial:
Então, a direção da reta perpendicular é .
Passo 4
Com a direção da reta perpendicular definida, precisamos determinar um ponto por onde essa reta passa. Para isso, vamos encontrar as equações paramétricas das retas x = 1 + t y = 2 - t z = -3 + 2t e x = 1 + 4u y = 2 + 2u z = -3 + u e resolver o sistema que garante que a reta perpendicular intersecta ambas de forma perpendicular.
Vamos parametrizar as retas:
Para PQ = Q - P = (1 + 4u - (1 + t), 2 + 2u - (2 - t), -3 + u - (-3 + 2t)) = (4u - t, 2u + t, u - 2t) :
4u - t = -5k 2u + t = 7k u - 2t = 6k
Para :
Agora, vamos considerar um ponto na reta e um ponto na reta tais que o vetor seja paralelo à direção da reta perpendicular .
Assim, temos:
Como deve ser paralelo a , existe um escalar tal que:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (4u - t) + (2u + t) = -5k + 7k 6u = 2k u = 13k , 13k - 2t = 6k -2t = 6k - 13k -2t = 18k - 1k3 -2t = 17k3 t = -17k6 e 4(13k) - (-17k6) = -5k 4k3 + 17k6 = -5k 8k6 + 17k6 = -5k 25k6 = -5k 25k = -30k 55k = 0 k = 0 .
Primeiramente, somamos as duas primeiras equações:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e em termos de na primeira equação:
Com , encontramos e .
Portanto, o ponto na reta é e o ponto na reta também é .
Passo 6
Observamos que os pontos e coincidem, o que significa que as retas e se intersectam no ponto . Portanto, a reta perpendicular comum às duas retas passa por esse ponto e tem direção .
Resposta
A reta perpendicular comum às retas x - 1-5 = y - 27 = z + 36 e é dada por: