Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto P à reta r que passa pelos pontos A e B nos casos:
(a) P(-2,0,1), A(1,-2,0) e B(4,0,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica usando projeção e norma de vetores. A ideia é encontrar a distância do ponto até a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, calcular diferenças entre eles, e aplicar fórmulas de projeção e norma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vamos usar. A reta AB = B - A = (4 - 1, 0 - (-2), 1 - 0) = (3, 2, 1) passa pelos pontos e , então podemos formar o vetor diretor da reta :

Passo 3

Agora, vamos formar o vetor que vai de AP = P - A = (-2 - 1, 0 - (-2), 1 - 0) = (-3, 2, 1) até , ou seja, :

Passo 4

A próxima etapa é calcular a projeção de ProjAB AP = AP cdot AB|AB|^2 AB sobre AP cdot AB = (-3)(3) + (2)(2) + (1)(1) = -9 + 4 + 1 = -4 . A fórmula da projeção é:
|AB|^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14
Primeiro, vamos calcular o produto escalar ProjAB AP = -414 AB = -27 (3, 2, 1) = ( -67, -47, -27 ) :
E a norma de ao quadrado:
Então, a projeção fica:

Passo 5

Agora, para achar a distância do ponto d = AP - ProjAB AP = ( -3 - ( -67 ), 2 - ( -47 ), 1 - ( -27 ) ) = ( -157, 187, 97 ) até a reta , precisamos encontrar o vetor que é a diferença entre e sua projeção sobre :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a norma desse vetor |d| = raiz( -157 )^2 + ( 187 )^2 + ( 97 )^2 = raiz 22549 + 32449 + 8149 = raiz 63049 = raiz12.8571 approx 3.585 , que representa a distância:

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.

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