Verifique que os vetores e não são paralelos e escreva o vetor w como combinação linear de u e v.
(a) u=(1,1), v=(3,4), w=(-3,2);
(b) u=(1,2,-1), v=(1,0,1), w=(3,-2,-1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores U e V não são paralelos e, se não forem, escrever o vetor w como uma combinação linear de u e v. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos e como montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes da combinação linear.
Passo 2
Parte (a):
Temos os vetores u = (1,1), v = (3,4) e w = (-3,2).
Primeiro, vamos verificar se u e v são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro, ou seja, se existir um número real k tal que v = k cdot u.
Vamos ver:
Se v = k cdot u, então:
3 = k cdot 1 Rightarrow k = 3
4 = k cdot 1 Rightarrow k = 4
Como não existe um único valor de k que satisfaça ambas as equações, os vetores não são paralelos.
Passo 3
Agora, vamos escrever w como uma combinação linear de u e v. Isso significa que queremos encontrar números reais a e b tais que:
w = a cdot u + b cdot v
Substituindo os valores:
(-3, 2) = a cdot (1,1) + b cdot (3,4)
Isso nos dá o sistema de equações:
-3 = a + 3b 2 = a + 4b
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a:
(2) - (-3) = (a + 4b) - (a + 3b) 5 = b
Agora que sabemos que b = 5, substituímos na primeira equação para encontrar a:
-3 = a + 3(5) -3 = a + 15 a = -18
Passo 5
Então, os coeficientes são a = -18 e b = 5. Assim, podemos escrever:
w = -18 cdot u + 5 cdot v
Passo 6
Parte (b):
Agora, temos os vetores u = (1,2,-1), v = (1,0,1) e w = (3,-2,-1).
Primeiro, vamos verificar se u e v são paralelos. Em 3D, dois vetores são paralelos se cada componente de um for múltiplo do componente correspondente do outro.
Vamos ver:
1 = k cdot 1 Rightarrow k = 1
2 = k cdot 0 Rightarrow Isso não tem solução, já que k não pode ser definido para o segundo componente.
Portanto, os vetores não são paralelos.
Passo 7
Agora, vamos escrever w como uma combinação linear de u e v. Ou seja, queremos encontrar números reais c e d tais que:
w = c cdot u + d cdot v
Substituindo os valores:
(3, -2, -1) = c cdot (1,2,-1) + d cdot (1,0,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
3 = c + d -2 = 2c + 0d -1 = -c + d
Passo 8
Vamos resolver esse sistema. Começamos pela segunda equação:
-2 = 2c Rightarrow c = -1
Com c = -1, substituímos na primeira equação:
3 = (-1) + d Rightarrow d = 4
Por fim, verificamos na terceira equação:
-1 = -(-1) + 4 -1 = 1 + 4 -1 = 5 (Isso não faz sentido!) ã
O resultado inconsistente indica que não existe combinação linear dos vetores u e v que gere o vetor w.
Resposta
(a) Os vetores não são paralelos e w = -18 cdot u + 5 cdot v.
(b) Não existe combinação linear de u e v que gere o vetor w.