Dadas as retas:
Determinar: O ângulo entre e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre as retas e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica envolvendo vetores direcionais das retas. Vamos precisar entender como identificar esses vetores e aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas e . A reta está dada na forma simétrica:
Aqui, podemos ver que o vetor direcional de é , já que as mudanças em e são 2 e -2, respectivamente, e é constante (0).

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor direcional da reta . A reta está na forma paramétrica:
Podemos reescrever isso em termos de um parâmetro :
Então, o vetor direcional de é .

Passo 4

Com os vetores direcionais em mãos, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:

Passo 8

Para encontrar o ângulo , vamos usar a função arco cosseno:
Calculando isso, obtemos aproximadamente:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz , com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra A B C D E F G H I J K
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Letra L M N O P Q R S T U
Número 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Letra V W X Y Z -
Número 22 23 24 25 26 27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
Para codificar, uma matriz , A, é multiplicada pela matriz , resultando na matriz , que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz , tal que , onde é a matriz identidade ( ). Assim, multiplicando por , obtémse .
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz resultou na matriz
Calcule a matriz , decodifique a mensagem e identifique a palavra original.
Seja o primeiro quadrante do plano , ou seja,
a) Se e estiverem em , será que estará em ? Por quê?
Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
a) matrizes , com ;
Uma matriz transmite uma palavra de letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz é .
1
a) A soma dos elementos da matriz A .