Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz , com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra A B C D E F G H I J K
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Letra L M N O P Q R S T U
Número 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Letra V W X Y Z -
Número 22 23 24 25 26 27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
Para codificar, uma matriz , A, é multiplicada pela matriz , resultando na matriz , que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz , tal que , onde é a matriz identidade ( ). Assim, multiplicando por , obtémse .
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz resultou na matriz
Calcule a matriz , decodifique a mensagem e identifique a palavra original.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve criptografia usando matrizes. O enunciado fala sobre como transformar uma mensagem em números utilizando uma matriz, codificá-la multiplicando por outra matriz, e depois decodificá-la usando a matriz inversa. Para resolver, vamos precisar entender multiplicação de matrizes e como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz , que é a inversa da matriz . A matriz é dada por:
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa:
Portanto, a matriz é:

Passo 5

Agora, vamos decodificar a matriz multiplicando por . A matriz é:
A multiplicação de matriz (2x2) por (2x3) resulta na matriz (2x3):
Vamos calcular cada elemento de :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
  • Primeiro elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 2, coluna 3):
Então, a matriz é:

Passo 6

Agora, vamos traduzir os números da matriz de volta para as letras, usando a tabela fornecida:
ú
Aplicando:
  • 19 → S
  • 9 → I
  • 7 → G
  • 9 → I
  • 12 → L
  • 15 → O
Portanto, a palavra original é SIGILO.

Resposta

A matriz é:
A palavra original decodificada é SIGILO.

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