Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz , com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Letra
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
Número
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Letra
V
W
X
Y
Z
-
Número
22
23
24
25
26
27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
Para codificar, uma matriz , A, é multiplicada pela matriz , resultando na matriz , que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz , tal que , onde é a matriz identidade ( ). Assim, multiplicando por , obtémse .
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz resultou na matriz
Calcule a matriz , decodifique a mensagem e identifique a palavra original.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve criptografia usando matrizes. O enunciado fala sobre como transformar uma mensagem em números utilizando uma matriz, codificá-la multiplicando por outra matriz, e depois decodificá-la usando a matriz inversa. Para resolver, vamos precisar entender multiplicação de matrizes e como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a matriz , que é a inversa da matriz . A matriz é dada por:
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
onde e .
Passo 3
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa.
Passo 4
Aplicando a fórmula da inversa:
Portanto, a matriz é:
Passo 5
Agora, vamos decodificar a matriz multiplicando por . A matriz é:
A multiplicação de matriz (2x2) por (2x3) resulta na matriz (2x3):
Vamos calcular cada elemento de :
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
Primeiro elemento (linha 2, coluna 1):
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Terceiro elemento (linha 2, coluna 3):
Então, a matriz é:
Passo 6
Agora, vamos traduzir os números da matriz de volta para as letras, usando a tabela fornecida: