a) Se e estiverem em , será que estará em ? Por quê?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um conjunto , que representa o primeiro quadrante do plano . Isso significa que todos os vetores nesse conjunto têm coordenadas e maiores ou iguais a zero. O conteúdo que vamos usar aqui é a adição de vetores e as propriedades do primeiro quadrante. Precisamos verificar se a soma de dois vetores que estão em também pertence a .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor estar no conjunto . Um vetor está em se suas componentes e forem maiores ou iguais a zero, ou seja:
O mesmo vale para o vetor :
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é feita a adição de vetores. A soma de dois vetores e é feita adicionando-se suas respectivas componentes:
Então, para que esteja em , precisamos que ambas as novas componentes sejam maiores ou iguais a zero.
Passo 4
Como e estão em , sabemos que , , e . Portanto:
Isso mostra que as componentes do vetor soma também são maiores ou iguais a zero.
Resposta
Sim, a soma está em , porque a soma das componentes de dois vetores com coordenadas não negativas também resulta em coordenadas não negativas.