Seja o primeiro quadrante do plano , ou seja,
a) Se e estiverem em , será que estará em ? Por quê?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um conjunto , que representa o primeiro quadrante do plano . Isso significa que todos os vetores nesse conjunto têm coordenadas e maiores ou iguais a zero. O conteúdo que vamos usar aqui é a adição de vetores e as propriedades do primeiro quadrante. Precisamos verificar se a soma de dois vetores que estão em também pertence a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor estar no conjunto . Um vetor está em se suas componentes e forem maiores ou iguais a zero, ou seja:
O mesmo vale para o vetor :

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é feita a adição de vetores. A soma de dois vetores e é feita adicionando-se suas respectivas componentes:
Então, para que esteja em , precisamos que ambas as novas componentes sejam maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Como e estão em , sabemos que , , e . Portanto:
Isso mostra que as componentes do vetor soma também são maiores ou iguais a zero.

Resposta

Sim, a soma está em , porque a soma das componentes de dois vetores com coordenadas não negativas também resulta em coordenadas não negativas.

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Se a massa for presa na extremidade de uma mola e se a mola for puxada para baixo e liberada, o sistema massa-mola começará a oscilar. O deslocamento da massa em relação à sua posição de repouso é dado por uma função da forma:
na qual é uma constante que depende da mola e da massa. Mostre que o conjunto de toda sas funções descritas acima (com fixo e e arbitrários) é um espaço vetorial.
Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz , com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra A B C D E F G H I J K
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Letra L M N O P Q R S T U
Número 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Letra V W X Y Z -
Número 22 23 24 25 26 27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
Para codificar, uma matriz , A, é multiplicada pela matriz , resultando na matriz , que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz , tal que , onde é a matriz identidade ( ). Assim, multiplicando por , obtémse .
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz resultou na matriz
Calcule a matriz , decodifique a mensagem e identifique a palavra original.
Dadas as retas:
Determinar: O ângulo entre e