Dadas as retas:
r: y-32=z+1-2 x=2 s:l y=2 x z=x-3 h:l x=3+t y=1-3 t z=t
Determinar: O ponto de interseção de s e h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar igualar as equações das retas para achar os valores das coordenadas , e que satisfazem ambas simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas y = 2x z = x - 3 e x = 3 + t y = 1 - 3t z = t de forma clara:
  • Reta :
  • Reta :
Aqui, é o parâmetro da reta .

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar um valor de x da reta h = 3 + t x da reta s permanece como x que faça com que as coordenadas , e da reta coincidam com as da reta . Vamos igualar as expressões correspondentes das duas retas.
Primeiro, igualamos :

Passo 4

Em seguida, igualamos as coordenadas y da reta h = 1 - 3t y da reta s = 2x :
2x = 2(3 + t) = 6 + 2t
Como 1 - 3t = 6 + 2t da reta é , substituímos na equação de da reta :
Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar 1 - 3t = 6 + 2t 1 - 6 = 2t + 3t -5 = 5t t = -1 :

Passo 6

Agora que encontramos x = 3 + t = 3 + (-1) = 2 y = 1 - 3t = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 z = t = -1 , vamos encontrar as coordenadas , e usando a reta :

Passo 7

Para confirmar, vamos verificar se essas coordenadas também satisfazem as equações da reta y = 2x Rightarrow 4 = 2(2) = 4 (ok) z = x - 3 Rightarrow -1 = 2 - 3 = -1 (ok) :
Tudo confere!

Resposta

O ponto de interseção das retas e é .

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