Sejam A(2,1,3), B(m, 3,5) e C(0,4,1) vértices do triângulo abaixo: Calcular a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um triângulo com os vértices em , e . A gente precisa calcular a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa . Vamos usar vetores e a fórmula de projeção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (m-2, , 3-1, , 5-3) = (m-2, , 2, , 2) e BC = C - B = (0-m, , 4-3, , 1-5) = (-m, , 1, , -4) .
O vetor é dado por:
O vetor é:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro. A projeção de ProjBC AB = ( AB cdot BC | BC |^2 ) BC sobre é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e é a magnitude (ou comprimento) de .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar AB cdot BC = (m-2)(-m) + (2)(1) + (2)(-4) = -m(m-2) + 2 - 8 = -m^2 + 2m - 6 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude ao quadrado de | BC |^2 = (-m)^2 + 1^2 + (-4)^2 = m^2 + 1 + 16 = m^2 + 17 :

Passo 6

Substituindo na fórmula da projeção:
ProjBC AB = ( -m^2 + 2m - 6 m^2 + 17 ) BC = ( -m^2 + 2m - 6 m^2 + 17 ) (-m, , 1, , -4)

Passo 7

A medida da projeção é o valor absoluto da componente escalar da projeção, então:
Medida da projeção = | -m^2 + 2m - 6 | raizm^2 + 17 çã

Resposta

A medida da projeção do cateto ,|, -m^2 + 2m - 6 ,|,,raizm^2 + 17, sobre a hipotenusa é:

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