O plano pi é determinado pelas retas r: x+z=5=y+4 e s: X=(4,1,1)+lambda(4,2,-3). Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um plano pi determinado pelas retas r e s. Nosso objetivo é encontrar as equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades desse plano pi. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos e a distância entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação geral do plano pi. Como o plano é determinado por duas retas, vamos identificar os vetores diretores dessas retas e, com eles, encontrar o vetor normal ao plano.

Passo 3

Vamos analisar as retas:
  • A reta r é dada por: x + z = 5 = y + 4. Isso pode ser interpretado como duas equações:
    x + z = 5
    y = 4
    Podemos reescrever a equação paramétrica da reta r como:
    r(t) = (5 - z, 4, z)
    Aqui, o vetor diretor da reta r é vr = ( -1, 0, 1 ).
  • A reta s é dada por:
    X = (4, 1, 1) + lambda(4, 2, -3)
    O vetor diretor da reta s é vs = (4, 2, -3).

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano pi, calculamos o produto vetorial dos vetores diretores das retas r e s:
n = vr times vs
Calculando:
n = i & j & k -1 & 0 & 1 4 & 2 & -3 = i(0 cdot (-3) - 1 cdot 2) - j((-1) cdot (-3) - 1 cdot 4) + k((-1) cdot 2 - 0 cdot 4)
n = i(-2) - j(3 - 4) + k(-2) = (-2, 1, -2)

Passo 5

Com o vetor normal n = (-2, 1, -2) e um ponto que pertence ao plano pi, por exemplo, o ponto (4,1,1) da reta s, podemos montar a equação geral do plano:
-2(x - 4) + 1(y - 1) - 2(z - 1) = 0
Simplificando:
-2x + 8 + y - 1 - 2z + 2 = 0 -2x + y - 2z + 9 = 0
Ou, de forma mais comum:
2x - y + 2z - 9 = 0
Então, a equação geral do plano pi é:
2x - y + 2z - 9 = 0

Passo 6

Agora, queremos encontrar as equações dos planos que são paralelos a pi e estão a uma distância de 2 unidades dela. Planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Então, a equação desses planos será:
2x - y + 2z + D = 0
Onde D é uma constante que ajusta a posição do plano.
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
Distância = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 â
Sabemos que a distância deve ser 2, então:
|D - (-9)|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 2 |D + 9|3 = 2 |D + 9| = 6
Isso nos dá duas possibilidades:
D + 9 = 6 ou D + 9 = -6
Resolvendo:
D = -3 ou D = -15

Resposta

As equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades do plano pi são:
2x - y + 2z - 3 = 0
e
2x - y + 2z - 15 = 0

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