O plano é determinado pelas retas e . Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um plano determinado pelas retas e . Nosso objetivo é encontrar as equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades desse plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos e a distância entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação geral do plano . Como o plano é determinado por duas retas, vamos identificar os vetores diretores dessas retas e, com eles, encontrar o vetor normal ao plano.
Passo 3
Vamos analisar as retas:
A reta é dada por: . Isso pode ser interpretado como duas equações:
Podemos reescrever a equação paramétrica da reta como:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
A reta é dada por:
O vetor diretor da reta é .
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , calculamos o produto vetorial dos vetores diretores das retas e :
Calculando:
n = i(-2) - j(3 - 4) + k(-2) = (-2, 1, -2)
Passo 5
Com o vetor normal n = (-2, 1, -2) e um ponto que pertence ao plano pi, por exemplo, o ponto (4,1,1) da reta s, podemos montar a equação geral do plano:
-2(x - 4) + 1(y - 1) - 2(z - 1) = 0
Simplificando:
-2x + 8 + y - 1 - 2z + 2 = 0 -2x + y - 2z + 9 = 0
Ou, de forma mais comum:
2x - y + 2z - 9 = 0
Então, a equação geral do plano pi é:
2x - y + 2z - 9 = 0
Passo 6
Agora, queremos encontrar as equações dos planos que são paralelos a pi e estão a uma distância de 2 unidades dela. Planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Então, a equação desses planos será:
2x - y + 2z + D = 0
Onde D é uma constante que ajusta a posição do plano.
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é: