O plano é determinado pelas retas e . Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um plano determinado pelas retas e . Nosso objetivo é encontrar as equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades desse plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos e a distância entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação geral do plano . Como o plano é determinado por duas retas, vamos identificar os vetores diretores dessas retas e, com eles, encontrar o vetor normal ao plano.
Passo 3
Vamos analisar as retas:
A reta é dada por: . Isso pode ser interpretado como duas equações:
Podemos reescrever a equação paramétrica da reta como:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
A reta é dada por:
O vetor diretor da reta é .
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , calculamos o produto vetorial dos vetores diretores das retas e :
Calculando:
Passo 5
Com o vetor normal e um ponto que pertence ao plano , por exemplo, o ponto da reta , podemos montar a equação geral do plano:
Simplificando:
Ou, de forma mais comum:
Então, a equação geral do plano é:
Passo 6
Agora, queremos encontrar as equações dos planos que são paralelos a e estão a uma distância de 2 unidades dela. Planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Então, a equação desses planos será:
Onde é uma constante que ajusta a posição do plano.
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
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Sabemos que a distância deve ser 2, então:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo:
Resposta
As equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades do plano são: