O plano é determinado pelas retas e . Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um plano determinado pelas retas e . Nosso objetivo é encontrar as equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades desse plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de planos e a distância entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação geral do plano . Como o plano é determinado por duas retas, vamos identificar os vetores diretores dessas retas e, com eles, encontrar o vetor normal ao plano.

Passo 3

Vamos analisar as retas:
  • A reta é dada por: . Isso pode ser interpretado como duas equações:
    Podemos reescrever a equação paramétrica da reta como:
    Aqui, o vetor diretor da reta é .
  • A reta é dada por:
    O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , calculamos o produto vetorial dos vetores diretores das retas e :
Calculando:

Passo 5

Com o vetor normal e um ponto que pertence ao plano , por exemplo, o ponto da reta , podemos montar a equação geral do plano:
Simplificando:
Ou, de forma mais comum:
Então, a equação geral do plano é:

Passo 6

Agora, queremos encontrar as equações dos planos que são paralelos a e estão a uma distância de 2 unidades dela. Planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Então, a equação desses planos será:
Onde é uma constante que ajusta a posição do plano.
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
â
Sabemos que a distância deve ser 2, então:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo:

Resposta

As equações gerais dos planos que estão a uma distância de 2 unidades do plano são:
e

Exercícios relacionados

Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo.
: perpendicular ao vetor cuja distáncia ao ponto 2 unidades;
dadas as retas e .
Determine as equaçōes paramétricas da reta que interseta perpendicularmente as retas & .
Determine as equaçōes paramétricas das seguintes retas:
que passa pelo ponto e 6 perpendicular ao plano ;
dadas as retas e .
calcule , a distância entre & ;