Obtenha o ângulo em radianos entre a reta
e o plano
.
(b)
(b)
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo em radianos entre a reta
e o plano
. Estamos lidando com Geometria Espacial, especificamente com ângulos entre retas e planos. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
. Depois, usaremos essas informações para calcular o ângulo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta
. A equação da reta está dada em forma simétrica:
. Podemos reescrever isso para facilitar a identificação:
O vetor diretor
da reta é formado pelos denominadores desses termos, então:
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do plano
. A equação do plano é
. Podemos reescrever isso na forma geral
:
O vetor normal
do plano é formado pelos coeficientes de
,
e
:
Passo 4
O próximo passo é lembrar que o ângulo
entre a reta e o plano está relacionado com o ângulo entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
. A relação entre esses ângulos é:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 5
Vamos calcular o ângulo
entre
e
usando a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as normas de
e
:
Passo 7
Substituindo na fórmula do produto escalar:
Resolvendo para
:
Calculando
:
Passo 8
Agora, lembrando que
, substituímos:
Para simplificar, usamos a identidade
:
Como o ângulo entre uma reta e um plano é sempre positivo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O ângulo entre a reta
e o plano
é: