Obtenha o ângulo em radianos entre a reta r e o plano pi.
(b) r:-x=y=z-12, pi: 2 x-y=0

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo em radianos entre a reta e o plano . Estamos lidando com Geometria Espacial, especificamente com ângulos entre retas e planos. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . Depois, usaremos essas informações para calcular o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta x-1 = y1 = z - 12 . A equação da reta está dada em forma simétrica: d = (-1, 1, 2) . Podemos reescrever isso para facilitar a identificação:
O vetor diretor da reta é formado pelos denominadores desses termos, então:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano 2x - y + 0z + 0 = 0 . A equação do plano é n = (2, -1, 0) . Podemos reescrever isso na forma geral :
O vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e :

Passo 4

O próximo passo é lembrar que o ângulo theta = pi2 - phi entre a reta e o plano está relacionado com o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . A relação entre esses ângulos é:
onde é o ângulo entre e .

Passo 5

Vamos calcular o ângulo d cdot n = |d| cdot |n| cdot cos(phi) entre d cdot n = (-1)(2) + (1)(-1) + (2)(0) = -2 -1 + 0 = -3 e usando a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as normas de |d| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 e |n| = raiz2^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5 :

Passo 7

Substituindo na fórmula do produto escalar:
-3 = raiz6 cdot raiz5 cdot cos(phi)
Resolvendo para cos(phi) = -3raiz30 :
phi = arccos(-3raiz30)
Calculando :

Passo 8

Agora, lembrando que theta = pi2 - arccos(-3raiz30) , substituímos:
theta = arcsin(-3raiz30)
Para simplificar, usamos a identidade theta = arcsin(3raiz30) :
Como o ângulo entre uma reta e um plano é sempre positivo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O ângulo entre a reta theta = arcsin(3raiz30) approx 0,615 radianos e o plano é:

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