Determine o ângulo das retas
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre vetores diretores das retas. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores de cada reta e depois usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas.
-
Reta s: Está na forma vetorial
, onde o vetor é o vetor diretor da reta s. -
Reta r: Está na forma paramétrica
. Vamos reescrever isso para encontrar o vetor diretor: - Seja
um parâmetro real. - Então,
, , e . - Assim,
, , , o que nos dá o vetor diretor .
- Seja
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
- Produto escalar:
- Norma dos vetores:
- Calculando o cosseno do ângulo:
- Encontrando o ângulo:
Resposta
O ângulo entre as retas
e
é
.