Determine o ângulo das retas s : X=(1,0,0)+h(2,1,-1) ; h in IR e r: x-12=y=-z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre vetores diretores das retas. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores de cada reta e depois usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas.
  • Reta s: Está na forma vetorial X = (1,0,0) + h(2,1,-1), onde o vetor (2,1,-1) é o vetor diretor da reta s.
  • Reta r: Está na forma paramétrica x-12 = y = -z. Vamos reescrever isso para encontrar o vetor diretor:
    • Seja k um parâmetro real.
    • Então, x-12 = k, y = k, e z = -k.
    • Assim, x = 1 + 2k, y = k, z = -k, o que nos dá o vetor diretor (2,1,-1).

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = u cdot v||u||, ||v||
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • ||u|| e ||v|| são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
u cdot v = (2)(2) + (1)(1) + (-1)(-1) = 4 + 1 + 1 = 6
  1. Norma dos vetores:
||u|| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
||v|| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
  1. Calculando o cosseno do ângulo:
cos(theta) = 6raiz6 times raiz6 = 66 = 1
  1. Encontrando o ângulo:
theta = cos^-1(1) = 0°

Resposta

O ângulo entre as retas s e r é .

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