Determine o ângulo das retas : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre vetores diretores das retas. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores de cada reta e depois usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas.
  • Reta s: Está na forma vetorial , onde o vetor é o vetor diretor da reta s.
  • Reta r: Está na forma paramétrica . Vamos reescrever isso para encontrar o vetor diretor:
    • Seja um parâmetro real.
    • Então, , , e .
    • Assim, , , , o que nos dá o vetor diretor .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
  1. Norma dos vetores:
  1. Calculando o cosseno do ângulo:
  1. Encontrando o ângulo:

Resposta

O ângulo entre as retas e é .

Exercícios relacionados

Obtenha o ângulo em radianos entre a reta e o plano .
(b)
Seja . Calcule sen nos casos (a) e (b) e casos © e (d):
(b)
dadas as retas e .
Verifique que e säo retas reversas;
Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo: