Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para escrever o polinômio na base do subespaço . Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . Para fazer isso, vamos precisar entender o que é uma base de um subespaço e como expressar um polinômio em termos dessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido como:
Isso significa que todo polinômio em deve satisfazer e . Vamos usar essas condições para encontrar uma base para .
Passo 3
Para encontrar uma base de , vamos determinar os polinômios que satisfazem e . Seja . Aplicando as condições:
Como , a segunda condição fica , ou seja, .
Passo 4
Substituindo p(t) = 0 + bt - bt^2 = b(t - t^2) e no polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em é múltiplo de . Portanto, a base de é simplesmente o polinômio .
Passo 5
Agora que temos a base de p(t) = alpha (t - t^2) , que é , queremos escrever nessa base. Isso significa encontrar um escalar tal que:
Vamos resolver para .
Passo 6
Igualando os polinômios:
3 + t - t^2 = alpha t - alpha t^2
Comparando os coeficientes:
O termo constante: (o que não faz sentido)
O termo de :
O termo de :
Aqui percebemos que não há solução para que satisfaça todas as equações simultaneamente, especialmente o termo constante.
Resposta
Não é possível escrever na base do subespaço porque não pertence a . O polinômio não satisfaz as condições e , já que e .