Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
e) Escreva p(t)=3+t-t^2 na base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para escrever o polinômio na base do subespaço . Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . Para fazer isso, vamos precisar entender o que é uma base de um subespaço e como expressar um polinômio em termos dessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço W = p(t) in P^2(R) g| p(0) = p(1) = 0 . Ele é definido como:
Isso significa que todo polinômio em deve satisfazer e . Vamos usar essas condições para encontrar uma base para .

Passo 3

Para encontrar uma base de , vamos determinar os polinômios que satisfazem e . Seja . Aplicando as condições:
Como , a segunda condição fica , ou seja, .

Passo 4

Substituindo p(t) = 0 + bt - bt^2 = b(t - t^2) e no polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em é múltiplo de . Portanto, a base de é simplesmente o polinômio .

Passo 5

Agora que temos a base de p(t) = alpha (t - t^2) , que é , queremos escrever nessa base. Isso significa encontrar um escalar tal que:
Vamos resolver para .

Passo 6

Igualando os polinômios:
3 + t - t^2 = alpha t - alpha t^2
Comparando os coeficientes:
  1. O termo constante: (o que não faz sentido)
  2. O termo de :
  3. O termo de :
Aqui percebemos que não há solução para que satisfaça todas as equações simultaneamente, especialmente o termo constante.

Resposta

Não é possível escrever na base do subespaço porque não pertence a . O polinômio não satisfaz as condições e , já que e .

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