Dadas as retas e . Verifique se e são coplanares ou reversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, a reta e a reta , definidas pelas equações que você me mandou. O objetivo aqui é descobrir se essas duas retas estão no mesmo plano (são coplanares) ou se elas não estão no mesmo plano e não se intersectam (são reversas ou, como também chamamos, linhas “skew”). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma mais clara. A reta está definida por:
Aqui, é o parâmetro. Vamos achar um ponto na reta e o vetor diretor dela. Para , por exemplo, o ponto é . O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações, que são .
Agora, a reta está definida por:
Podemos parametrizar essa reta também. Vamos usar como parâmetro. Seja , então:
Então, um ponto na reta quando é , e o vetor diretor de é .

Passo 3

Observando os vetores diretores das duas retas, vemos que ambos são . Isso significa que as retas são paralelas ou coincidentes. Agora, para saber se elas são realmente coincidentes ou apenas paralelas, precisamos verificar se algum ponto de uma reta está na outra.
Vamos ver se o ponto da reta pertence à reta . Substituindo na equação de :
Como o ponto está na reta , isso significa que as retas e não são apenas paralelas, mas na verdade são a mesma reta! Portanto, elas são coplanares porque estão no mesmo plano.

Resposta

As retas e são coplanares, pois coincidem no espaço.

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b) e s: