Dadas as retas e s:ly=6-x z=2-x. Se forem coplanares, são Coincidentes ou Paralelas ou Concorrentes? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem duas retas no espaço:
Reta r:
x = 2 + t y = 4 - t z = -t
Reta s:
y = 6 - x z = 2 - x
A questão quer saber, se essas retas estiverem no mesmo plano (coplanares), elas são coincidentes (a mesma reta), paralelas ou concorrentes (se cruzam). Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e ver como elas se relacionam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das duas retas de forma mais clara. A reta r já está em forma paramétrica com o parâmetro y = 6 - x z = 2 - x . Já a reta s está em forma implícita, então vamos transformá-la também em forma paramétrica.
Para a reta s, temos:
y = 6 - lambda z = 2 - lambda
Podemos escolher x = lambda y = 6 - lambda z = 2 - lambda como parâmetro. Vamos chamar . Então:
Portanto, a reta s em forma paramétrica fica:
Passo 3
Agora que temos ambas as retas em forma paramétrica, vamos identificar os vetores de direção de cada uma. O vetor de direção indica a direção em que a reta está apontando no espaço.
Vetor de direção da reta r: Observando os coeficientes do parâmetro , temos .
Vetor de direção da reta s: Observando os coeficientes do parâmetro , temos .
Percebemos que os vetores de direção são iguais, ou seja, . Isso sugere que as retas podem ser paralelas ou coincidentes.
Passo 4
Para determinar se as retas são exatamente a mesma (coincidentes) ou apenas paralelas, vamos verificar se existe um ponto comum entre elas.
Vamos igualar as equações paramétricas:
2 + t = lambda (1) 4 - t = 6 - lambda (2) -t = 2 - lambda (3)
Vamos resolver o sistema para encontrar valores de 4 - t = 6 - (2 + t) 4 - t = 6 - 2 - t 4 - t = 4 - t e -t = 2 - (2 + t) -t = 2 - 2 - t -t = -t que satisfaçam todas as equações.
Da equação (1): .
Substituindo na equação (2):
Essa equação é sempre verdadeira, não nos dá informação nova.
Agora, substituindo na equação (3):
Novamente, sempre verdadeira.
Isso significa que para qualquer valor de , as equações são satisfeitas, o que indica que as retas são coincidentes.
Resposta
As retas r e s são coincidentes, pois possuem o mesmo vetor de direção e todo ponto de uma reta pertence à outra.