Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU x+2 y+3 z & =10 3 x+4 y+6 z & =23 3 x+2 y+3 z & =10

Passo 1

Ok, galera! Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método da decomposição LU. O sistema que temos é:
x + 2y + 3z = 10 3x + 4y + 6z = 23 3x + 2y + 3z = 10
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a decomposição LU. Basicamente, isso significa decompor a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma matriz inferior e uma matriz superior , de tal forma que . Depois, resolvemos dois sistemas mais simples para encontrar as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 3 3 & 4 & 6 3 & 2 & 3 , b = 10 23 10 e o vetor dos termos constantes :
Nosso objetivo é encontrar matrizes e tais que .

Passo 3

Vamos começar a decompor L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 em e . A matriz terá 1s na diagonal principal e elementos abaixo dela, enquanto será uma matriz triangular superior.
Assumimos:

Passo 4

Multiplicando LU = 1 cdot u11 & 1 cdot u12 & 1 cdot u13 l21 cdot u11 & l21 cdot u12 + 1 cdot u22 & l21 cdot u13 + 1 cdot u23 l31 cdot u11 & l31 cdot u12 + l32 cdot u22 & l31 cdot u13 + l32 cdot u23 + 1 cdot u33 e , temos:
Esse produto deve ser igual à matriz . Vamos igualar os elementos correspondentes para encontrar os valores de , , , , , , , e .

Passo 5

Igualando as entradas das matrizes:

Passo 6

Agora que temos todos os elementos de L = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 3 & 2 & 1 , U = 1 & 2 & 3 0 & -2 & -3 0 & 0 & 0 e , vamos escrever as matrizes completas:

Passo 7

Com 1 cdot y1 = 10 3 cdot y1 + 1 cdot y2 = 23 3 cdot y1 + 2 cdot y2 + 1 cdot y3 = 10 , temos o sistema . Vamos resolver isso em duas etapas:
  1. Resolva para .
  2. Resolva para .
Primeiro, vamos resolver :

Passo 8

Resolvendo 10 -7 -6 :
Então, .

Passo 9

Agora, resolvemos 1 cdot x + 2 cdot y + 3 cdot z = 10 0 cdot x - 2 cdot y - 3 cdot z = -7 0 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = -6 :
Observamos que a última equação é , o que é uma contradição. Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema de equações não possui solução, pois é inconsistente.

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