Verificar se as retas e são perpendiculares, paralelas ou concorrentes e não perpendiculares, nos seguintes casos:
b) e s:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as retas e são perpendiculares, paralelas ou se elas se cruzam mas não são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre vetores direcionais das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. O vetor direcional de uma reta é aquele que indica a direção em que a reta está apontando.
Para a reta , que está na forma paramétrica:
O vetor direcional é dado pelos coeficientes de : .
Já para a reta , apresentada pela equação , parece estar na forma geral de um plano. Mas para considerar como uma reta, precisamos interpretar de forma apropriada. Vamos reescrever a equação:
Podemos parametrizar essa reta escolhendo dois parâmetros livres. Por exemplo, suponha que e , então:
Assim, a reta pode ser parametrizada como:
O vetor direcional será .
Passo 3
Agora que temos os vetores direcionais e , vamos analisar as seguintes possibilidades:
Paralelas: Se os vetores direcionais são múltiplos um do outro, as retas são paralelas.
Perpendiculares: Se o produto escalar dos vetores direcionais é zero, as retas são perpendiculares.
Convergentes mas não perpendiculares: Se as retas se cruzam em um ponto, mas não satisfazem nenhuma das condições acima.
Passo 4
Vamos verificar cada caso:
Verificando se são paralelas:
Para serem paralelas, deve existir um número real tal que .
Isso nos dá:
Resolvendo a primeira equação: . Verificando a segunda: (não é igual a 1). Portanto, não são paralelas.
Verificando se são perpendiculares:
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar não é zero (), as retas não são perpendiculares.
Verificando se são concorrentes:
Para serem concorrentes, as retas devem ter um ponto em comum. Vamos igualar as parametrizações:
Para a reta :
Para a reta :
Igualando :
Substituindo e na primeira equação:
Portanto, existe um valor de que satisfaz todas as equações, o que significa que as retas se cruzam em um ponto, mas como não são nem paralelas nem perpendiculares, são concorrentes e não perpendiculares.
Resposta
As retas e são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto, mas não são paralelas nem perpendiculares.