Verificar se as retas r e s são perpendiculares, paralelas ou concorrentes e não perpendiculares, nos seguintes casos:
b) r: 4 x-4 y-12 z=0 e s: cx=2+2 t y=-2 t z=-6 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as retas e são perpendiculares, paralelas ou se elas se cruzam mas não são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre vetores direcionais das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. O vetor direcional de uma reta é aquele que indica a direção em que a reta está apontando.
  • Para a reta x = 2 + 2t y = -2t z = -6t , que está na forma paramétrica:
    4x - 4y - 12z = 0 Rightarrow x - y - 3z = 0
    O vetor direcional é dado pelos coeficientes de x = y + 3z = s + 3t : x = s + 3t y = s z = t .
  • Já para a reta , apresentada pela equação , parece estar na forma geral de um plano. Mas para considerar como uma reta, precisamos interpretar de forma apropriada. Vamos reescrever a equação:
    Podemos parametrizar essa reta escolhendo dois parâmetros livres. Por exemplo, suponha que e , então:
    Assim, a reta pode ser parametrizada como:
    O vetor direcional será .

Passo 3

Agora que temos os vetores direcionais e , vamos analisar as seguintes possibilidades:
  1. Paralelas: Se os vetores direcionais são múltiplos um do outro, as retas são paralelas.
  2. Perpendiculares: Se o produto escalar dos vetores direcionais é zero, as retas são perpendiculares.
  3. Convergentes mas não perpendiculares: Se as retas se cruzam em um ponto, mas não satisfazem nenhuma das condições acima.

Passo 4

Vamos verificar cada caso:
  1. Verificando se são paralelas:
    Para serem paralelas, deve existir um número real (3, 1, 1) = k cdot (2, -2, -6) tal que 3 = 2k 1 = -2k 1 = -6k .
    vr cdot vs = (3)(2) + (1)(-2) + (1)(-6) = 6 - 2 - 6 = -2
    Isso nos dá:
    x = s + 3t y = s z = t
    Resolvendo a primeira equação: x = 2 + 2t' y = -2t' z = -6t' . Verificando a segunda: s + 3t = 2 + 2t' s = -2t' t = -6t' (não é igual a 1). Portanto, não são paralelas.
  2. Verificando se são perpendiculares:
    Calculamos o produto escalar:
    -2t' + 3(-6t') = 2 + 2t'
    Como o produto escalar não é zero ( -2t' - 18t' = 2 + 2t' ), as retas não são perpendiculares.
  3. Verificando se são concorrentes:
    Para serem concorrentes, as retas devem ter um ponto em comum. Vamos igualar as parametrizações:
    Para a reta -20t' = 2 + 2t' :
    -22t' = 2 Rightarrow t' = -111
    Para a reta :
    Igualando :
    Substituindo e na primeira equação:
    Portanto, existe um valor de que satisfaz todas as equações, o que significa que as retas se cruzam em um ponto, mas como não são nem paralelas nem perpendiculares, são concorrentes e não perpendiculares.

Resposta

As retas e são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto, mas não são paralelas nem perpendiculares.

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