Verificar se as retas e são perpendiculares, paralelas ou concorrentes e não perpendiculares, nos seguintes casos:
b) e s:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as retas e são perpendiculares, paralelas ou se elas se cruzam mas não são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre vetores direcionais das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. O vetor direcional de uma reta é aquele que indica a direção em que a reta está apontando.
  • Para a reta , que está na forma paramétrica:
    O vetor direcional é dado pelos coeficientes de : .
  • Já para a reta , apresentada pela equação , parece estar na forma geral de um plano. Mas para considerar como uma reta, precisamos interpretar de forma apropriada. Vamos reescrever a equação:
    Podemos parametrizar essa reta escolhendo dois parâmetros livres. Por exemplo, suponha que e , então:
    Assim, a reta pode ser parametrizada como:
    O vetor direcional será .

Passo 3

Agora que temos os vetores direcionais e , vamos analisar as seguintes possibilidades:
  1. Paralelas: Se os vetores direcionais são múltiplos um do outro, as retas são paralelas.
  2. Perpendiculares: Se o produto escalar dos vetores direcionais é zero, as retas são perpendiculares.
  3. Convergentes mas não perpendiculares: Se as retas se cruzam em um ponto, mas não satisfazem nenhuma das condições acima.

Passo 4

Vamos verificar cada caso:
  1. Verificando se são paralelas:
    Para serem paralelas, deve existir um número real tal que .
    Isso nos dá:
    Resolvendo a primeira equação: . Verificando a segunda: (não é igual a 1). Portanto, não são paralelas.
  2. Verificando se são perpendiculares:
    Calculamos o produto escalar:
    Como o produto escalar não é zero ( ), as retas não são perpendiculares.
  3. Verificando se são concorrentes:
    Para serem concorrentes, as retas devem ter um ponto em comum. Vamos igualar as parametrizações:
    Para a reta :
    Para a reta :
    Igualando :
    Substituindo e na primeira equação:
    Portanto, existe um valor de que satisfaz todas as equações, o que significa que as retas se cruzam em um ponto, mas como não são nem paralelas nem perpendiculares, são concorrentes e não perpendiculares.

Resposta

As retas e são concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto, mas não são paralelas nem perpendiculares.

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