Verificar se as retas e são perpendiculares, paralelas ou concorrentes e não perpendiculares, nos seguintes casos:
a) e r:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • Reta : dada pela equação .
  • Reta : descrita pelas equações paramétricas
Queremos verificar se essas retas são perpendiculares, paralelas ou concorrentes e não perpendiculares. Para isso, vamos precisar dos conceitos de vetor diretor, produto escalar e paralelismo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor de cada reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.
  • Para a reta , já temos as equações paramétricas. O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações de , e :
  • Para a reta , a equação representa um plano. Para obtermos a reta , precisamos de mais informações, como um ponto por onde passa ou outra equação. Porém, parece que houve um pequeno erro no enunciado. Vamos supor que a reta é definida por essa equação e por uma outra condição implícita, e que o vetor diretor pode ser obtido a partir dos coeficientes da equação do plano:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores de ambas as retas, podemos verificar se elas são perpendiculares, paralelas ou concorrentes e não perpendiculares.
  • Perpendiculares: Duas retas são perpendiculares se o produto escalar de seus vetores diretores for zero.
  • Paralelas: Duas retas são paralelas se um vetor diretor for múltiplo escalar do outro.
  • Concorrentes e não perpendiculares: Se as retas não são nem perpendiculares nem paralelas, mas se intersectam, elas são concorrentes e não perpendiculares.
Vamos calcular o produto escalar e verificar o paralelismo.

Passo 4

Calculando o produto escalar dos vetores diretores e :
Como o produto escalar é zero, isso significa que as retas e são perpendiculares.

Resposta

As retas e são perpendiculares.

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b) e s:
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