Dadas as retas
e
cujas equações são dadas por:
encontrar os valores de
de modo que:
(a) as retas
e
sejam paralelas e não coincidentes;
(b) as retas
e
sejam paralelas a um mesmo plano;
© as retas
e
sejam concorrentes;
(d) as retas
e
sejam reversas.
(a) as retas
(b) as retas
© as retas
(d) as retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item (a) desse exercício. O enunciado pede para encontrar os valores de
que fazem com que as retas
e
sejam paralelas, mas não coincidentes. Vamos usar conceitos de geometria analítica 3D para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as direções das retas
e
. Para isso, vamos parametrizar as equações de cada reta.
Para a reta
:
Vamos deixar
(onde
é o parâmetro). Assim:
Portanto, o vetor direção de
é
.
Para a reta
:
Vamos novamente deixar
. Então:
Então, o vetor direção de
é
.
Passo 3
Duas retas são paralelas se os seus vetores direção são proporcionais, ou seja, se existe um escalar
tal que:
Aplicando isso:
Isso nos dá as equações:
Da segunda e terceira equação, vemos que
.
Passo 4
Substituindo
na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
):
Portanto,
ou
.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que as retas não sejam coincidentes para esses valores de
.
Para
:
Claramente, as retas têm direções iguais, mas pontos diferentes (por exemplo, quando
,
tem
,
e
tem
,
), então não são coincidentes.
Para
:
Novamente, as direções são proporcionais, mas os pontos são diferentes (por exemplo, quando
,
tem
,
e
tem
,
), então não são coincidentes.
Resposta
Os valores de
que fazem as retas
e
serem paralelas e não coincidentes são
e
.