Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
r:{ x=m*y-1; z=y-1 } s: x=y/m=z; t: -x+z=y=-z-1
encontrar os valores de m em R de modo que:
(a) as retas r e s sejam paralelas e não coincidentes;
(b) as retas r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano;
© as retas r e t sejam concorrentes;
(d) as retas r e s sejam reversas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) desse exercício. O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem com que as retas e sejam paralelas, mas não coincidentes. Vamos usar conceitos de geometria analítica 3D para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as direções das retas e . Para isso, vamos parametrizar as equações de cada reta.
Para a reta :
Vamos deixar (onde é o parâmetro). Assim:
Portanto, o vetor direção de é .
Para a reta :
Vamos novamente deixar . Então:
Então, o vetor direção de é .

Passo 3

Duas retas são paralelas se os seus vetores direção são proporcionais, ou seja, se existe um escalar tal que:
Aplicando isso:
Isso nos dá as equações:
Da segunda e terceira equação, vemos que .

Passo 4

Substituindo na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por (assumindo ):
Portanto, ou .

Passo 5

Agora, precisamos garantir que as retas não sejam coincidentes para esses valores de .
Para :
Claramente, as retas têm direções iguais, mas pontos diferentes (por exemplo, quando , tem , e tem , ), então não são coincidentes.
Para :
Novamente, as direções são proporcionais, mas os pontos são diferentes (por exemplo, quando , tem , e tem , ), então não são coincidentes.

Resposta

Os valores de que fazem as retas e serem paralelas e não coincidentes são e .

Exercícios relacionados

Calcule os limites quando x -> a.
f(x)=(x^5+32)/(x+2), a=-2.
Calcule os limites quando x -> a.
f(x)=(x^2-7x+10)/(x-2), a=2.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(f) f(x, y) = e^(x y)
Sendo f(x)=ll3-x & , se x<1 4 & , se x=1 x^2+1 & , se x>1 determine: lim x 1^+ f(x) lim x 1^- f(x) lim x 1 f(x).