Beleza, vamos resolver o item (a) desse exercício. O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem com que as retas e sejam paralelas, mas não coincidentes. Vamos usar conceitos de geometria analítica 3D para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as direções das retas e . Para isso, vamos parametrizar as equações de cada reta.
Para a reta :
Vamos deixar (onde é o parâmetro). Assim:
Portanto, o vetor direção de é .
Para a reta :
Vamos novamente deixar . Então:
Então, o vetor direção de é .
Passo 3
Duas retas são paralelas se os seus vetores direção são proporcionais, ou seja, se existe um escalar tal que:
Aplicando isso:
Isso nos dá as equações:
Da segunda e terceira equação, vemos que .
Passo 4
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por (assumindo ):
Portanto, ou .
Passo 5
Agora, precisamos garantir que as retas não sejam coincidentes para esses valores de .
Para :
Claramente, as retas têm direções iguais, mas pontos diferentes (por exemplo, quando , tem , e tem , ), então não são coincidentes.
Para :
Novamente, as direções são proporcionais, mas os pontos são diferentes (por exemplo, quando , tem , e tem , ), então não são coincidentes.
Resposta
Os valores de que fazem as retas e serem paralelas e não coincidentes são e .