Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa fazer o mapa de contorno da função , mostrando várias curvas de nível. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis e envolve entender como a função se comporta em diferentes pontos do plano . Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função tem o mesmo valor constante, que chamamos de nível. Ou seja, para cada valor constante , a curva de nível é definida por .
Passo 3
No nosso caso, a função é . Queremos encontrar as curvas de nível, então vamos igualar a função a uma constante :
Passo 4
Agora, para encontrar a relação entre e , vamos resolver essa equação para . Para isso, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Como , temos:
Passo 5
Então, a equação das curvas de nível é:
Isso significa que para cada valor de , a curva de nível é definida por . Essas equações representam hipérboles no plano .
Passo 6
Para criar o mapa de contorno, escolhemos diferentes valores de e plotamos as respectivas hipérboles . Por exemplo:
Se , então , então . Isso dá as linhas e , que são os eixos e .
Se , é positivo, então temos hipérboles no primeiro e terceiro quadrantes.
Se , é negativo, então as hipérboles estão no segundo e quarto quadrantes.
Passo 7
Vamos escolher alguns valores específicos de para desenhar as curvas de nível:
então , então .
então , então .
então , então .
então , então .
Passo 8
Plotando essas equações no plano , teremos várias hipérboles que representam as curvas de nível da função . Cada hipérbole corresponde a um valor diferente de , mostrando como a função se comporta em diferentes regiões do plano.
Resposta
Assim, o mapa de contorno da função é composto por várias hipérboles definidas por para diferentes valores de . Essas curvas de nível mostram como a função varia em diferentes pontos do plano , com hipérboles nos quadrantes apropriados dependendo do valor de .