Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa fazer o mapa de contorno da função
, mostrando várias curvas de nível. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis e envolve entender como a função se comporta em diferentes pontos do plano
. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
tem o mesmo valor constante, que chamamos de nível. Ou seja, para cada valor constante
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Queremos encontrar as curvas de nível, então vamos igualar a função a uma constante
:
Passo 4
Agora, para encontrar a relação entre
e
, vamos resolver essa equação para
. Para isso, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, temos:
Passo 5
Então, a equação das curvas de nível é:
Isso significa que para cada valor de
, a curva de nível é definida por
. Essas equações representam hipérboles no plano
.
Passo 6
Para criar o mapa de contorno, escolhemos diferentes valores de
e plotamos as respectivas hipérboles
. Por exemplo:
-
Se
, então , então . Isso dá as linhas e , que são os eixos e . -
Se
, é positivo, então temos hipérboles no primeiro e terceiro quadrantes. -
Se
, é negativo, então as hipérboles estão no segundo e quarto quadrantes.
Passo 7
Vamos escolher alguns valores específicos de
para desenhar as curvas de nível:
-
então , então . -
então , então . -
então , então . -
então , então .
Passo 8
Plotando essas equações no plano
, teremos várias hipérboles que representam as curvas de nível da função
. Cada hipérbole corresponde a um valor diferente de
, mostrando como a função se comporta em diferentes regiões do plano.
Resposta
Assim, o mapa de contorno da função
é composto por várias hipérboles definidas por
para diferentes valores de
. Essas curvas de nível mostram como a função varia em diferentes pontos do plano
, com hipérboles nos quadrantes apropriados dependendo do valor de
.