Sendo determine: lim x 1^+ f(x) lim x 1^- f(x) lim x 1 f(x).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os limites dela quando x se aproxima de 1 por valores maiores, menores e exatamente em 1. Para isso, vamos usar o conceito de limite da matemática, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
f(x) = 3 - x & se x < 1 4 & se x = 1 x^2 + 1 & se x > 1
A função muda de expressão dependendo se x é menor que 1, igual a 1 ou maior que 1.
Passo 3
Vamos encontrar o limite quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, f(x) = x^2 + 1 . Isso significa que x está chegando perto de 1 por valores maiores que 1.
Nesse caso, usamos a parte da função para limx to 1^+ f(x) = 1^2 + 1 = 2 :
Então, substituímos 1 nessa expressão:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, f(x) = 3 - x . Isso significa que x está chegando perto de 1 por valores menores que 1.
Nesse caso, usamos a parte da função para limx to 1^- f(x) = 3 - 1 = 2 :
Substituímos 1 nessa expressão:
Passo 5
Por último, vamos determinar o limite quando x se aproxima de 1, ou seja, limx to 1^+ f(x) = 2 . Para que esse limite exista, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em 1.
Vimos que:
limx to 1^- f(x) = 2
f(1) = 4
E o valor da função em 1 é:
Como os limites laterais são iguais, mas diferentes do valor da função em 1, o limite existe e é igual a 2, mesmo que a função tenha um valor diferente em 1.